физика лекцыи_1 / 1.11

1.11 .ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

Момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения. Понятие главных моментов инерции. Главные оси. Устойчивое свободное вращение. Закон сохранения момента импульса. Работа и мощность при вращательном движении. Аналогия между вращательным и поступательным движением. Гироскоп.

   

Если твердое тело привести во вращение и затем предоставить самому себе, то направление оси вращения в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы.

     

Рассмотрим этот вопрос более подробно на следующем примере. Пусть середина С однородного стержня жестко скреплена с осью вращения так, что угол между стержнем и осью равен (рис. 11.1). Найдем момент

Рис. 11.1. Определение свободных осей твердого тела

 внешних сил, которые необходимо приложить к оси вращения, чтобы при вращении стержня с угловой скоростью ее направление не менялось. Этот момент . Таким образом, чтобы определить , сначала надо найти момент импульса стержня , а затем его производную по времени.

     

Момент импульса проще всего определить относительно точки С. Мысленно выделим элемент стержня массы dm, находящийся на расстоянии r от точки С. Его момент импульса относительно этой точки где скорость элемента. Вектор , направлен перпендикулярно стержню (рис.11.1), причем его направление не зависит от выбора элемента dm. Поэтому суммарный момент импульса стержня совпадает по направлению с вектором .  Заметим, что в данном случае вектор не совпадает по направлению с вектором .

При вращении стержня вектор будет также вращаться с угловой скоростью. За промежуток времени dt вектор получает приращение , модуль которого, как видно из рис. 11.1, равен или в векторном виде . Поделив обе части последнего выражения на dt, получим   

     

Таким образом, действительно, для удержания оси вращения в неизменном направлении к ней необходимо в данном случае приложить момент некоторых внешних сил , показанных на рис. 11.1. Однако нетрудно видеть, что если , то вектор совпадает по направлению с вектором , и в этом случае, т. е. направление оси вращения будет оставаться неизменным без внешнего воздействия.

     

Ось вращения, направление которой в пространстве остается неизменным без действия на нее каких-либо сил извне, называют свободной осью тела.

     

В общей теории доказывается, что для любого твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями. Их называют главными осями инерции тела.

     

Нахождение главных осей инерции для тела произвольной формы - в математическом отношении сложная задача. Однако она очень упрощается для тел, обладающих той или иной симметрией, ибо положение центра инерции и направление главных осей инерции обладают в этом случае той же симметрией.

     

Например, у однородного прямоугольного параллелепипеда главные оси инерции проходят через центры противолежащих граней. Если тело обладает осью симметрии, как например, однородный цилиндр, одной из его главных осей инерции является ось симметрии, в качестве же остальных осей могут служить две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси симметрии и проходящей через центр инерции тела. Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции. У тела с центральной симметрией (например, у однородного шара) главными осями инерции являются три любые взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тела,-ни одна из главных осей инерции не фиксирована относительно тела.

    

 Важной особенностью главных осей инерции тела является то обстоятельство, что при вращении тела вокруг любой из них момент импульса тела совпадает по направлению с угловой скоростью тела и определяется формулой

     

(11.1)

где I - момент инерции тела относительно данной главной оси инерции. Причем не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют - при условии, что ось вращения неподвижна. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела.

     

В общем случае для связи проекций момента импульса на координатные оси с проекциями угловой скорости имеем

(11.2)     

Величину (11.3)

называют тензором момента инерции.

Отсюда видно, что в общем случае, когда ось вращения не совпадает ни с одной из главных осей инерции, хотя и проходит через центр инерции тела, направление вектора не совпадает с вектором и связь между этими векторами носит сложный характер. Эго обстоятельство является причиной сложного поведения вращающихся твердых тел.

     

В качестве практически важного примера вращения твердого тела рассмотрим гироскопы. Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, которая является одной из свободных осей.

Опыт показывает, что если ось вращающегося гироскопа наклонена к вертикали, то гироскоп не падает, а совершает так называемое прецессионное движение (прецессию) - его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью , причем оказывается: чем больше угловая скорость вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии .

     

Рассмотрим действие внешней силы , приложенной к точке массой . За время элементарная масса проходит путь Работа силы на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которая очевидно, равна тангенциальной составляющей силы.

Но равна модулю момента силы относительно оси вращения. Работа , и будет положительна, если имеет такое же направление, как и отрицательное, если направление векторов и противоположны.

С учетом, что

Работа всех сил, приложенных к телу

(11.4)

Полная работа

(11.5)

В каждый момент времени вращение тела, закрепленного в одной точке, можно рассматривать как вращение тела вокруг мгновенной оси, которая изменяет свое положение и в теле, и в пространстве, но всегда проходит через закрепленную точку и совпадает по направлению с вектором угловой скорости. Вращательное движение тела в отсутствии внешних сил называется свободным вращением. В этом случае сохраняется кинетическая энергия, а в отсутствие внешних моментов сил направление и модуль момента импульса.

Определим мощность при вращательном движении

(11.6)

Мощность при вращательном движении тела равна произведению вращающего момента (момента пары) на угловую скорость.

Подставив в выражение мощности значение угловой скорости, выраженной через частоту вращения (об/мин)  получим

откуда

При данной мощности двигателя максимальный вращающий момент, который двигатель способен развить, можно изменить путем варьирования частоты вращения. Уменьшая частоту вращения, увеличивают вращающий момент и, наоборот, увеличивая частоту вращения, вращающий момент уменьшают

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе момент импульса системы тел всегда сохраняется постоянным.

. 

Аналогия между вращетельным и поступательным движение.Между поступательным и вращательным движениями существует аналогия, которая позволяет легко запоминать формулы, относящиеся к вращательному движению.

Основные характеристики поступательного движения: путь S, скорость v, ускорение а и время t. При вращении им соответствуют: угол поворота φ, угловая скорость со, угловое ускорение ε и время t.

Пусть нам нужно написать уравнение равномерного вращательного движения. Вспоминаем формулу S=vt, справедливую для равномерного поступательного движения, и по аналогии пишем уравнение равномерного вращательного движения: φ=ωt. Для равномерного ускоренного (или замедленного) вращения справедливы формулы: угол поворота φ= ω₀t±at²/2 и угловая скорость ω=ω₀±εt (по аналогии с S=v₀t±at²/2 и v=v₀±at). В этих формулах знак "плюс" относится к случаю равномерно ускоренного движения, знак "минус" - равномерно замедленного.

Эта аналогия справедлива не только в кинематике, но распространяется и на динамику. Роль массы т при вращении играет момент инерции I, а роль силы F - момент силы L. Основное уравнение динамики вращательного движения Iε=L записывается по аналогии с ma=F, кинетическая энергия вращения Iω²/2 по аналогии с mv²/2 и т. д.

6