физика лекцыи / 1.19

1.19. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Вывод дифференциального уравнения для незатухающего гармонического осциллятора. Изменение энергии при колебаниях. Частота и период колебаний различных маятников.

Рассмотрим формальный вывод дифференциального уравнения свободный гармонических колебаний. Рассмотрим общее вид для энергии гармонический колебаний в виде:

(19.1)

Здесь Е – энергия системы; В – обобщенный коэффициент жесткости колеблющейся сисемы; Д – обобщенная масса колеблющейся системы; ψ – обобщенное смещение. Продифференцируем это уравнение по времени и учтем, что в нашем случае энергия сохраняется, т.е. Е = const.

Тогда

Так как

В противном случае скорость системы равна нулю а значит и нет колебаний, поэтому нулю равно выражение в скобках. Отсюда получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний

или (19.2)

Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая это уравнение в тождество. В нашем случае этой функцией будет

(19.3)

Из этого уравнения следует, что

Отсюда (19.4)

Следовательно, (19.5)

Применем этот подход к рассмотрению изученных нами видов колебаний

Виды маятников	ψ	В	Д
Пружинный	x	к	m
Математический	α	mgl	ml2
Физический	α	mgl	J
Крутильный	ϴ	χ	J

Потенциальную энергию каждого из маятников можно найти по формуле

Кинетическую энергию каждого из маятников можно найти по формуле

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

Общее решение уравнения (19.2) можно записать как линейную комбинацию независимых решений:

. (19.6)

Часто полагают, что C₁=1, C₂=-i. Тогда в соответствии с формулой Эйлера

() выражение (19.6) может быть записано в виде

. (19.7)

Такой комплексной формой записи закона гармонического колебания широко пользуются. Это связано с удобством работы с экспоненциальной функцией. Так как наблюдаемые значения каждой физической величины вещественны, то наблюдаемый закон гармонических колебаний может быть получен из (19.7) взятием вещественной части от величины z(t), которая называется комплексным вектором колебаний: .

2