Статический метод

Согласно п. 8 настоящего приложения задача формулируется следующим образом. Найти max(илиmaxР_р) при выполнении ограничений:

Составляющие изгибающего момента в ригеле равны:

;

.

Эпюра остаточных моментов М_riв ригеле постоянна (рис. 2,в) и равна

М_ri=M_r.

Максимальное значение поперечной силы Q_iимеет место у правой опоры ригеля в расчетном сеченииi= 7 и равно

, кН.

Отношение среднего касательного напряжения к расчетному сопротивлению стали сдвигуR_s(R_s= 0,58R_yсогласно табл. 1* СНиПII-23-81*), равно:

Согласно п. 5.18 СНиП II-23-81* при значениях , чему соответствует, предельные изгибающие моментыМ_pli(Р_р) во всех расчетных поперечных сечениях можно определять без учета поперечных сил по формулам (39) и (42) СНиПII-23-81*.

М_pli=W_pliR_y= 2SR_y= 20,75810⁴2,410⁵= 36,38 кНм.

С учетом полученных выражений для моментов ограничения-неравенства для семи расчетных поперечных сечений будут такими:

1) М_r+ 6,468Р_р36,38 + 20,254P_p;

2) М_r+ 5,174Р_р36,38 + 7,042P_p;

3) М_r+ 3,880Р_р36,38 - 3,253P_p;

4) М_r+ 2,587Р_р36,38 - 10,575P_p;

5) М_r+ 1,294Р_р36,38 - 14,979P_p;

6) М_r36,38 - 16,446P_p;

7) М_r- 6,468 Р_р -36,38 + 20,254P_p.

Для примера определим координаты двух точек на кривой предельного равновесия “в большом” Р_p=P_p(), принявP_p=P_d= 1. Тогда система ограничений-неравенств становится линейной относительно двух варьируемых параметровM_rи. В общем случае поставленная задача решается методами линейного программирования, например, симплекс-методом. В данном простом примере решениеmax= 4,631 получено “ручным” счетом. При этом четвертое и седьмое из ограничений переходят в строгие равенства, что соответствует образованию пластических шарниров в расчетных сечениях с координатамии.

Вторую точку на кривой предельного равновесия “в большом” найдем, приняв = 1, тогда система ограничений-неравенств становится линейной относительно двух варьируемых параметровМ_rиP_p. Максимальное значение параметраP_p, удовлетворяющее полученной системе ограничений-неравенств, будет равнотахР_р= 1,686. При этом шестое и седьмое из ограничений переходят в строгие равенства, что соответствует образованию пластических шарниров в расчетных поперечных сечениях с координатамии. Аналогичным путем можно определить координаты любой точки на кривой предельного равновесия “в большом”.

Кинематический метод

Согласно п. 8 настоящего приложения задача ставится следующим образом. Найти minP(илиmin) при выполнении условий совместности для всехjкинематически возможных механизмов пластического разрушения рамы:

.

Рама один раз статически неопределима, поэтому для превращения ее в механизм достаточно образования двух пластических шарниров. Первый пластический шарнир образуется в наиболее напряженном расчетном поперечном сечении i= 7 на правом опорном конце ригеля, второй - в одном из расчетных сеченийi= 1-6.

Удельная работа внешних сил и диссипация энергииD_jна рассматриваемых механизмах пластического разрушения рамы (рис. 3 настоящего приложения) соответственно равны:

Рис. 3. Схема механизма пластического разрушения рамы

С учетом указанных последних выражений ограничения-неравенства (14) настоящего приложения для каждого из шести возможных механизмов пластического разрушения будут такими:

12,936 P_p  72,76;

(14,68 + 12,936 ) P_p  80,844;

(29,36 + 12,936 ) P_p  90,95;

(44,04 + 12,936 ) P_p  103,943;

(58,72 + 12,936 ) P_p  121,267;

(73,4 + 12,936 ) P_p  145,52.

Для наглядности определим две точки на кривой предельного равновесия “в большом” Р_p=P_p(),. Первую точку найдем, принявP_p=P_d= 1. Минимальное значение параметра, удовлетворяющее полученной системе линейных ограничений-неравенств, будетmin= 4,631. При этом четвертое из ограничений переходит в строгое равенство, что соответствует образованию второго пластического шарнира в расчетном поперечном сечении с координатой. Вторую точку на кривой предельного равновесия “в большом” найдем, приняв= 1. Минимальное значение параметраP_p, удовлетворяющее полученной системе линейных ограничений-неравенств, будетminP_p= 1,686. При этом шестое из ограничений переходит в строгое равенство, что соответствует образованию второго пластического шарнира в расчетном поперечном сечении с координатой. Аналогичным путем можно определить координаты любой точки на кривой предельного равновесия “в большом”.

Как и следовало ожидать, результаты расчета рамы статическим и кинематическим методами совпали.