Значения вероятностей р( λ ) для различных λ
|
λ |
Р(λ) |
λ |
Р(λ) |
λ |
Р(λ) |
λ |
Р(λ) |
|
0,30 |
1,000 |
0,70 |
0,7112 |
1,20 |
0,1122 |
2,00 |
0,0007 |
|
0,35 |
0,9997 |
0,75 |
0,6272 |
1,30 |
0,0681 |
2,10 |
0,0003 |
|
0,40 |
0,9972 |
0,80 |
0,5441 |
1,40 |
0,0397 |
2,20 |
0,0001 |
|
0,45 |
0,9874 |
0,85 |
0,4653 |
1,50 |
0,0222 |
2,30 |
0,0001 |
|
0,50 |
0,9639 |
0,90 |
0,3927 |
1,60 |
0,0120 |
2,40 |
0,0000 |
|
0,55 |
0,9228 |
0,95 |
0,3275 |
1,70 |
0,0062 |
2,50 |
0,0000 |
|
0,60 |
0,8643 |
1,00 |
0,2700 |
1,80 |
0,0032 |
|
|
|
0,65 |
0,7920 |
1,10 |
0,1777 |
1,90 |
0,0015 |
|
|
Критерий Пирсона вычисляется по формуле
,
где m — число сравниваемых частот.
fi и fi/ — эмпирическая и теоретическая частоты соответственно i-го интервала значений Х.
Далее рассчитывается число степеней свободы
k = m - p - 1,
где р — число параметров теоретического распределения (р = 2 для нормального и равновероятного распределения, р = 1 для эксцентриситета).
По величине k, используя таблицы можно определить Р(). Если Р()≤0,05, то гипотеза о законе распределения отвергается.
Таблица вероятностей Р для критерия χ²
|
χ² |
k | |||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | |
|
1 |
0,3173 |
0,6055 |
0,8013 |
0,9098 |
0,9626 |
0,9856 |
0,9948 |
0,9982 |
|
2 |
0,1574 |
0,3679 |
0,5724 |
0,7358 |
0,8491 |
0,9197 |
0,9598 |
0,9810 |
|
3 |
0,0833 |
0,2231 |
0,3916 |
0,5578 |
0,7000 |
0,8088 |
0,8850 |
0,9344 |
|
4 |
0,0455 |
0,1353 |
0,2615 |
0,4060 |
0,5494 |
0,6767 |
0,7798 |
0,8571 |
|
5 |
0,0254 |
0,0821 |
0,1718 |
0,2873 |
0,4159 |
0,5438 |
0,6600 |
0,7576 |
|
6 |
0,0143 |
0,0498 |
0,1116 |
0,1991 |
0,3062 |
0,4132 |
0,5398 |
0,6472 |
|
7 |
0,0081 |
0,0302 |
0,0719 |
0,1359 |
0,2206 |
0,3208 |
0,4289 |
0,5366 |
|
8 |
0,0047 |
0,0183 |
0,0460 |
0,0916 |
0,1562 |
0,2381 |
0,3326 |
0,4335 |
|
9 |
0,0027 |
0,0111 |
0,0293 |
0,0611 |
0,1091 |
0,1736 |
0,2527 |
0,3423 |
|
10 |
0,0016 |
0,0067 |
0,0186 |
0,0404 |
0,0752 |
0,1247 |
0,1886 |
0,2650 |
|
11 |
0,0009 |
0,0041 |
0,0117 |
0,0266 |
0,0514 |
0,0884 |
0,1386 |
0,2017 |
|
12 |
0,0005 |
0,0025 |
0,0074 |
0,0174 |
0,0348 |
0,0620 |
0,1006 |
0,1512 |
|
13 |
0,0003 |
0,0015 |
0,0046 |
0,0113 |
0,0234 |
0,0430 |
0,0721 |
0,1119 |
|
14 |
0,0002 |
0,0009 |
0,0029 |
0,0073 |
0,0156 |
0,0296 |
0,0512 |
0,0818 |
|
15 |
0,0001 |
0,0006 |
0,0018 |
0,0047 |
0,0104 |
0,0203 |
0,0360 |
0,0591 |
|
16 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0011 |
0,0030 |
0,0068 |
0,0138 |
0,0251 |
0,0424 |
|
17 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0007 |
0,0019 |
0,0045 |
0,0093 |
0,0174 |
0,0301 |
|
18 |
|
0,0001 |
0,0004 |
0,0012 |
0,0029 |
0,0062 |
0,0120 |
0,0212 |
|
19 |
|
0,0001 |
0,0003 |
0,0008 |
0,0019 |
0,0042 |
0,0082 |
0,0149 |
|
20 |
|
0,0000 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0013 |
0,0028 |
0,0056 |
0,0103 |
|
21 |
|
|
0,0001 |
0,0003 |
0,0008 |
0,0018 |
0,0038 |
0,0071 |
|
22 |
|
|
0,0001 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0012 |
0,0025 |
0,0049 |
|
23 |
|
|
0,0000 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0008 |
0,0017 |
0,0034 |
|
24 |
|
|
|
0,0001 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0011 |
0,0023 |
|
25 |
|
|
|
0,0001 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0008 |
0,0016 |
|
26 |
|
|
|
0,0000 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0010 |
|
27 |
|
|
|
|
0,0001 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0007 |
|
28 |
|
|
|
|
0,0000 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0005 |
|
29 |
|
|
|
|
|
0,0001 |
0,0001 |
0,0003 |
|
30 |
|
|
|
|
|
0,0000 |
0,0001 |
0,0002 |
При отсутствии таблиц значений Р() и для быстрой ориентировки при помощи критерия можно воспользоваться критерием Романовского
Если А ≥ 3, то гипотеза о законе распределения отвергается.
При исследовании закона распределения случайной величины размах делят на m равных интервалов (как правило, m=8..12), при этом количество интервалов разбиения выбирают таким образом, чтобы размах по возможности нацело делился на m. Количество интервалов разбиения также может быть определено по эмпирической формуле Стерджесса:
,
где m – количество равных интервалов разбиения;
N – объем исследуемой выборки.
Для каждого из интервалов разбиения определяют границы интервала, среднее арифметическое, частоту и частость. Среднее арифметическое интервала находят как полусумму наибольшего и наименьшего значений в интервале. Все результаты вычислений можно представить в данной таблице:
|
№ интервала |
границы интервала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После заполнения таблицы желательно проверить правильность расчёта частот и частостей. Сумма частот всех интервалов должна быть равна объёму выборки. Сумма частостей всех интервалов должна быть равна единице.
Для оценки вида эмпирического распределения случайной величины строят гистограмму распределения и полигон частот, после чего выдвигают статистическую гипотезу, которая в общем случае записывается как: «Данная эмпирическая совокупность является частью генеральной статистической совокупности, которая при количестве членов, стремящемся к бесконечности, будет распределена по определенному закону распределения».
Для проверки статистической гипотезы о виде закона распределения по критериям согласия наряду с эмпирическими частотами необходимо определить теоретические частоты.
Для
нормального закона распределения
теоретические частоты
находят по формуле
где z(t) = φ(t) – функция нормированного нормального распределения, рассчитываемая по формуле
,
где t рассчитывается по следующей формуле:
Для расчёта z(t) используются табулированные значения.