doc1

= 3313[0,06/-3,881n(4,88e00'23'-l)]+C.

Найдем постоянную интегрирования С из начальных условий: при / = 0 хо = 0; С = -33щ-3,881пЗ,88). Тогда

х = 331,8[0,0& - 3,881п(4,88е00123' -l)]+331,8 - 3,88 • 1пЗ,88 =

dx

Найдем закон движения тела. Сделаем замену: х = —, тогда dt

От в е т : x =—Inch — t.

кV m

Задача 27.28

Буер, весящий вместе с пассажирами Q = 1962 Н, движется прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности льда вследствие давления ветра на парус, плоскость которого ab образует угол 45° с направлением движения. Абсолютная скорость w ветра перпендикулярна направлению движения. Величина силы давления ветра Р

выражается формулой Ньютона: Р = kSu1 cos2 ср, где <р — угол, образуемый относительной скоростью ветра Ш с перпендикуляром N к плоскости паруса, S = 5 м2 — площадь паруса, к = 0,113 — опытный коэффициент. Сила давления Р направлена перпендикулярно плоскости ab. Пренебрегая трением, найти: 1) какую наибольшую скорость vmax может получить буер; 2) какой угол а составляет при этой скорости помещенный на мачте флюгер с плоскостью паруса; 3) какой путь JC, должен пройти буер для того, чтобы приобрести ско-

2

рость v = - w, если его начальная скорость равна нулю.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение буера под действием силы давления Р ветра. Ось х направим в сторону движения буера (см. рисунок к условию задачи). Запишем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х:

m x = ^ F k x = />cos45° или с учетом данных задачи

тх. = kSu2 cos2 (pcos 45°.

Рассмотрим движение потока воздуха как сложное: w = u + v, или в проекции на нормаль к парусу wn -u„+v„, откуда

и„ =ucosq>= w„ — v„ = (w-v) cos 45°= (w - x) cos 45°.

Тогда

mx = kS(w-x)2 cos3 45°.

= w/--lnf —+/1+C,. a Vwa J

Найдем C2 из начальных условий: при t = 0 % = 0, тогда С2 = — In — , a wa

2

Определим время Г, за которое скорость буера станет v = х = - w. Согласно формуле (1)

откуда

2т

Г = -wA>S'cos3450

Найдем по формуле (3) путь*,, пройденный буером за время Т:

О т в е т : 1) vmax = w; 2) a = 0°; 3) jc. =900 м.

Задача 27.29

Вожатый трамвая, выключая постепенно реостат, увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на 1200 Н в течение каж-

Постоянные интегрирования найдем по начальным условиям: при J, =0 Xq =0, х0 =0. С учетом этого С, =0, С2 = 0. Тогда

5= х = 0,02 Г,3 = 0,02(/ -1,635)3.

От в е т : движение начнется через 1,635 с после включения тока по закону: 5 = 0,02(? -1,635)3 м.

Задача 27.30

Тело массы 1 кг движется под действием переменной силы F = 10(1-0 Н, где время t — в секундах. Через сколько секунд тело остановится, если начальная скорость тела v0 = 20 м/с и сила совпадает по направлению со скоростью тела? Какой путь пройдет тело до остановки?

98 IX. Динамика материальной точки

Для определения времени движения тела до остановки приравняем скорость нулю: х = 0, тогда при / = Т уравнение (3) примет вид

"2 Л 0 = 10 т-- +20, или Т2 - 2 Г - 4 = 0.

2

Решив это квадратное уравнение, найдем Г = 1 + ^5 =3,236 (с).

Определим по формуле (4) путь, пройденный до остановки, при t — Т х = s:

5 = Ю | — - — | + 2 0 Г = 10f3,2362 3,2363>+20-3^36 = 60,6 (м).

Ь6 )

От в е т: / = 3,236 с; s = 60,6 м.

Задача 27.31

Материальная точка массы m совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону F = F0 cosco/, где F0 и со — постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость ха = v0. Найти уравнение движения точки.