Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

doc1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

1.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

5.1. Предел числовой последовательности. Предел функции

Число а называется пределом числовой последовательности {хn}, если для любого числа ε > 0 существует такой номер N(ε), что при

всех n > N выполняется неравенство xn - a < e.

Обозначение предела функции: lim xn = a; xn ® a при

n→∞

n → ∞.

Число А называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ(ε) > 0, что при всех х,

удовлетворяющих условию			x - x0		< d,	x ¹ x0 , выполняется нера-

венство	f (x) - A	< e.			lim	f (x) = A .

Обозначение предела функции:
				x→x0

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при x ® x0 , то справедливы теоремы о пределах:

1.	lim ( f (x) ± g(x)) = lim		f (x) ± lim g(x);
	x→x0	x→x0	x→x0
2.	lim ( f (x) × g(x)) =	lim	f (x) × lim g(x);
	x→x0	x→ x0	x→x0

3. lim f (x)

x→x0 g(x)

	lim f (x)
=	x→ x0	(если lim g(x) ¹ 0 ).
=		(если lim g(x) ¹ 0 ).
	lim g(x)	x→x0
	x→ x0

Решение многих задач основано на следующих замечательных пределах:

	sin x			1	x		1/ x
lim		= 1; lim 1	+			= e,	lim (1 + x)	= e,

x→0 x		x→∞		x			x→0

где е = 2,71828…

П р и м е р ы . Найти пределы:

+ 3

∞

lim

∞

= lim

= −1.

n→∞ 2n − 3n

n→∞

−

n→∞ 2

−1

x3 + 3x2 + 2x

x(x + 2)(x +1)

x(x +1)

2. lim

= lim

= −

x2 − x − 6

(x + 2)(x − 3)

x→−2

x→−2 x − 3

−

+ 3

∞

5x3

−

2x2

5 −

lim

= lim

2x2

x→∞ 8x3 + 2x2 −1

∞

x→∞ 8x3

x→∞

−

8 +

−

−1

(

−1)(

+1)

1+ x2

= lim

1+ x2

= lim

= 0.

4. lim

x→0

x( 1+ x2 +1)

x→0 1+ x2 +1

1 n

−

n−1

lim

−

+ L+ (−1)

lim

n→∞

5 25

n→∞

1 +

1+ x + x2

− 3

6. lim

−

= (∞ − ∞) = lim

− x3

1− x3

x→1

− x 1

n→1

= lim

(x −1)(x + 2)

= − lim

x + 2

= −1.

(1− x)(1+ x + x2 )

n→1

n→1 1+ x + x2

(

−

)= (∞ − ∞) =

lim

x2 − 2x −1

x2 − 7x + 3

x→+∞

= lim

(

−

)(

x2 − 2x −1

x2 − 7x + 3

x2 − 2x −1

x2 − 7x + 3

x→+∞

x2 − 2x −1 +

x2 − 7x + 3

= lim

x2 -2x -1- x2 +7x -3

= lim

5x -4

x→+∞

x2 -2x -1 +

x2 -7x +3

x→+∞

-2x -1 +

x2 -7x +3

5 -

= lim

x→+∞

1- 2

- 1 + 1- 7 + 3

sin 3x

×3

lim

= lim

sin 7x

x→0 sin 7x

x→0

×7

2x - arctg x

2 - (arctg x) / x

lim

= lim

, так как

x→0 2x + arc sin x

x→0 2 + (arc sin x) / x

lim

arcsin x

= [arcsin x = y] = lim

= 1 и lim

arctg x

= 1.

x→0

y→0 sin y

x→0

- x = y

1- sin x

1- sin

- y

10. lim

= lim

x→ π2

- x

® p ; y ® 0

y→0

1 - cos y

2 sin

sin

= lim

= 2 ×

y →0

→0

2 2 2

x + 5 x

x + 3 + 2 x

2 x

11. lim

= (1∞ )= lim

= lim 1

x +

x→∞ x + 3

x→∞

x + 3

x+3

2−3

x+3 2

= lim

= lim 1+

x→∞

x + 3

x→∞

+ 3

−3

= e2 ×1−3 = e2.

´ lim

x→∞

x + 3

a x -1

a x -1 = y,

a x =1+ y

12. lim

x ® 0, y

x→0

® 0 x ln a = ln(1+ y)

= lim

y ln a

= ln a × lim

= ln a, так как

y→0 ln(1+ y)

→0 ln(1+ y)

lim

= lim

=1.

y→0

ln(1+ y)

y→0 ln(1+ y)1/ y

ln lim (1+ y)1/ y

lne

y→∞

5.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции.

Точки разрыва и их классификация

Функция a(x) называется бесконечно малой при x ® x0 , если

lim a(x) = 0 . Пусть a(x) и b(x) – бесконечно малые при x ® x0
x→x0	α(x) = c . Если c ¹ 0,
и существует предел их отношения lim
x→x0	b(x)

c ¹ ¥ , то a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости. Обозначение a = O(b) при x ® x0 . Если с = 1, то a(x) и b(x) называются эквивалентными бесконечно малыми

(обозначение: α(x) ~ β(x) при x ® x0 ). Если с = 0, то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем β(x) (обозначение

α(x) = o(β(x)) при x ® x0 ).

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить эквивалентной ей беско-

нечно малой, т.е. если	a(x) ~ a1(x), b(x) ~ b1(x) при x ® x0 , то
lim		α(x) = lim					α1(x) .
x→x0		b(x)				x→ x0	b (x)
							1
П р и м е р 5.1. Найти lim						4x2 -1
								.

	x→		1		arcsin(1 - 2x)

		2
Р е ш е н и е . При	x ®			1		функции α(x) = 1− 2x и β(x) =

		2

= arcsin(1− 2x) являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому

lim		4x2 -1	= lim		(2x -1)(2x +1)	= lim (- (2x +1)) = -2.
		arcsin(1 - 2x)			1 - 2x
x→	1		x→	1		x→	1
2			2			2

Функция f (x) называется бесконечно большой при x ® x0 , если для любого положительного числа М существует такое число δ > 0 , что при всех х, удовлетворяющих условию x - x0 < d, x ¹ x0 ,

выполняется неравенство f (x) > M . Обозначение

lim f (x) = ¥ .

x→ x0

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если: 1) функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности;

2)существует конечный предел функции f (x) в точке x0 ;

3)этот предел равен значению функции в точке x0 , т.е.

lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

На практике часто используют другое определение непрерывности функции в точке, равносильное данному.

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если выполняются условия:

1)функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности;

2)существуют конечные односторонние пределы

lim f (x) = f (x0 - 0) и	lim f (x) = f (x0 + 0) ;
x→ x0 −0	x→ x0 +0

3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в

точке x0 .

Укажем основные свойства непрерывных функций.

1. Простейшие элементарные функции ( C, xα , a x , sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x ) непрерывны во всех

точках, где они определены.
2. Если функции f (x) и g(x)	непрерывны в точке x0 , то и
функции f (x) ± g(x), f (x) × g(x),	f (x)	(g(x ) ¹ 0 непрерывны в
функции f (x) ± g(x), f (x) × g(x),		(g(x ) ¹ 0 непрерывны в
	g(x)	0
	g(x)

точке x0 .

3. Если u = ϕ(x) непрерывна в точке x0 , а y = f (u) непрерывна в точке u0 = j(x0 ) , то сложная функция y = f (ϕ(x)) непрерывна в точке x0 .

4. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и возрастает (или убывает) на этом отрезке, то обратная функция

x = f −1( y) на соответствующем отрезке оси OY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Точка x0 , в которой не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Если в точке x0 существуют конечные односторонние пределы

lim f (x) = f (x0 -0),	lim f (x) = f (x0 +0) , такие что f (x0 -0) ¹
x→x0 −0	x→x0 +0

¹ f (x0 + 0) , то x0 называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов f (x0 - 0), f (x0 + 0) не существует или равен бесконечности, то точка x0 называется точкой разрыва второго рода. Если f (x0 - 0) = f (x0 + 0) , но функция в точке x0 не опреде-

лена или если f (x)

в точке

определена,

но f (x0 ) ¹ lim

f (x) ,

x→x0

то x0 называется точкой устранимого разрыва.

П р и м е р 5.2. Найти точки разрыва функции f (x) =

− 1

определить их вид.

Р е ш е н и е . Так как функции ex -1 и

x непрерывны,

то не-

прерывным будет и их отношение

ex −1

во всех точках,

кроме

точки x = 0 . При

x = 0 f (x)

не определена, следовательно,

раз-

рывна. Так как lim

ex −1

= 1 (см. п. 5.1 пример 12), то x = 0 –

точ-

x→0

f (0) = 1, то функция

ка устранимого разрыва. Если положить

(ex -1)

при

x ¹ 0;

j(x) =

при

x = 0

будет непрерывной при всех x .

П р и м е р 5.3. Установить вид точек разрыва функции

x2 + 1		при	− ∞ < x ≤ 0;
	+ 1		0 < x < 3;
f (x) = x	+ 1	при	0 < x < 3;
6	− x	при	x > 3.

Р е ш е н и е . Область определения функции f (x) – вся числовая ось (−∞; + ∞) . Разрывы возможны только в точках x = 0 и x = 3 , в которых изменяется аналитическое задание функции. Найдем односторонние пределы в точке x = 0 и значение функции в этой точке:

lim f (x) = lim (x2 +1) = 1; lim			f (x) = lim (x +1) = 1, f (0) = 1.
x→−0	x→−0	x→+0		x→+0
Следовательно, в точке x = 0 функция непрерывна.
Рассмотрим точку x = 3 :
lim	f (x) = lim	(x + 1) = 4;	lim	f (x) = lim (6 − x) = 3.
x→3−0	x→3−0		x→3+0	x→3+0

Так как эти пределы конечны но не равны между собой, то х = 3 – точка разрыва первого рода. График функции f(x) изображен на рис. 5.1.

f(x)

								x
– 4 –		3 – 2 – 1		1 2		8

Рис. 5.1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.2015113.73 Кб198Dlya_zavochnikaw_letnyaya_sesiya_2014-2015gg.docx
#
11.12.20196.32 Mб1dm2.doc
#
04.11.20181.76 Mб116doc1.doc
#
31.05.2015474.62 Кб75doc1.doc
#
31.05.2015490.5 Кб77doc1.doc
#
31.05.20151.09 Mб21doc1.pdf
#
31.05.20157.09 Mб35doc1.pdf
#
31.05.201511.39 Mб530doc1.pdf
#
31.05.201541.17 Mб60doc1.pdf
#
31.05.201514.26 Mб115doc2.pdf
#
31.05.2015271.87 Кб15document.doc