(здесь дважды использован предел lim |
sin x |
= 1). |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Поскольку lim (ln y) = - |
1 |
|
|
|
sin x |
|
||
|
|
|
x2 |
|||||
|
, |
то lim y = lim |
|
|
||||
|
|
|||||||
x→0 |
6 |
|
x→0 |
x→0 x |
|
|||
− 1
= e 6 .
|
|
|
6.4. Формула Тейлора и ее приложения |
|||||||||||||
Если функция f (x) |
дифференцируема (n +1) раз в окрестности |
|||||||||||||||
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
(x0 ) |
|
|
|
|||
U (x0 ) точки |
|
x0 , то для любого |
x ÎU |
имеет место формула |
||||||||||||
Тейлора n-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) = f (x )+ |
f ′(x0 ) |
(x - x ) + |
|
|
f ′′(x0 ) |
(x - x )2 + |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
1! |
|
|
|
|
0 |
|
|
2! |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f (n)(x ) |
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ ... + |
0 |
|
(x - x ) |
|
|
+ R |
|
(x), |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n! |
|
|
0 |
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где R (x) = |
|
f |
(n+1)(x + q(x - x )) |
× (x - x )n+1, 0 < q < 1 – остаточ- |
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
(n +1)! |
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ный член в форме Лагранжа.
Приведем разложения некоторых функций по формуле Тейлора при x = 0 :
ex = 1 + |
x |
+ |
x2 |
+ |
x3 |
+ L + |
xn |
+ R (x), R (x) = |
eθx |
|
xn+1 ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|||||||||||||||||
1! 2! 3! |
|
n! |
n |
n |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
sin x = |
x |
- |
x3 |
+ |
x5 |
-L + (-1)n+1 |
x2n−1 |
|
|
+ R |
|
(x); |
|
|||||||||
|
|
|
(2n -1)! |
|
|
|||||||||||||||||
1! 3! |
5! |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
55
R2n (x) = (-1)n cos(qx) |
x2n+1 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(2n +1)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
x4 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
cos x = 1 - |
|
+ |
|
|
|
+ L + (-1)n |
|
|
(2n)! |
+ R2n+1(x); |
|
|||||||||
2! |
4! |
|
|
|
||||||||||||||||
R2n+1(x) = (-1)n+1 cos(qx)× |
x2n+2 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||
(2n + 2)! |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln(1 + x) = x - |
x2 |
+ |
x3 |
-L+ (-1)n+1 |
xn |
+ R (x); |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Rn (x) = (-1)n |
|
|
|
|
|
xn+1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(n +1)×(1 + qx)n+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(1+ x)α =1+ α x + α(α −1) x2 +L+ α(α −1)L(α − n +1) xn + R (x); |
||||||||||||||||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R (x) = |
a(a -1)(a - 2)×L× (a - n) |
xn+1(1 + qx)α−n−1 |
; 0 < θ < 1. |
|
|||
n |
(n +1)! |
|
|
|
|
||
Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в
форме Пеано: |
R |
(x) = 0( |
x - x |
|
n ) при x ® x . |
|
|
||||||
|
n |
|
0 |
|
|
0 |
П р и м е р |
6.15. Разложить многочлен f (x) = x4 - 2x2 +13x + 9 |
|||||
по степеням двучлена x + 2. |
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
Поскольку |
|
f (x) – |
многочлен 4-й степени, то |
||
f (5)(x) = 0 и формула Тейлора при x |
= -2 имеет вид |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
f (x) = f (- 2) + f ′(- 2)(x + 2) + f ′′(- 2)(x + 2)2 +
1! 2!
56
|
|
|
f ¢¢¢(- 2) |
|
|
3 |
|
f |
IV (- 2) |
4 |
|
|
||||
+ |
|
|
|
|
(x |
+ 2) + |
|
|
|
|
(x + 2) . |
|
|
|||
3! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя |
в эту |
|
формулу значения |
f (- 2) = -9, |
||||||||||||
f ¢(- 2) = (4x3 - 4x +13) |
|
x =−2 |
= -11, |
|
f ¢¢(- 2) = (12x2 - 4) |
|
x =−2 = 44, |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
f ¢¢¢(- 2) = 24x |
|
|
|
|
0 |
|
f IV (- 2) = 24, получим |
|
0 |
|||||||
|
x =−2 = -48 , |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = -9 -11(x + 2) + 22(x + 2) - 8(x + 2)3 + (x + 2)4.
Пр и м е р 6.16. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для
функции f (x) = 10x в точке x0 = 0.
Р е ш е н и е . Имеем
f (x) =10x ; f ¢(x) =10x ln10; f ¢¢(x) =10x ln2 10; f ¢¢¢(x) =10x ln310;
f (IV )(x) = 10x ln4 10; f (0) = 1; f ¢(0) = ln10, f ¢¢(0) = ln2 10,
f ¢¢¢(0) = ln310, f (IV )(qx) = 10θx × ln4 10.
По формуле Тейлора получаем
10x = 1 + (ln10)x + ln2 10 x2 + ln310 x3 + 10θx × ln4 10 x4 , 0 < q < 1. 2! 3! 4!
П р и м е р 6.17. Вывести приближенную формулу sin x » x - x3
6
иоценить ее точность при x < 0,05.
Ре ш е н и е . Запишем формулу Тейлора 4-го порядка для функции sin x в точке x0 = 0 :
57
sin x = x - |
x3 |
|
+ R (x), |
где R (x) = |
cos qx × x5 |
, 0 < q < 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При |
|
x |
|
< 0,05 имеем D = |
|
R (x) |
|
£ |
|
cosqx |
|
× |
|
|
x |
|
5 |
£ |
(0,05)5 |
|
< 3 ×10−9 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
5! |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Поэтому sin x » x - |
|
с точностью D < 3 ×10−9 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р 6.18. Вычислить e0,2 |
с точностью до 10−3 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е . Формула Тейлора для функции e x |
имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ex = 1 + |
|
x |
+ |
x2 |
+ L + |
xn |
+ R (x), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где R (x) = |
|
xn+1 |
|
eθx , 0 < q < 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая x = 0,2, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e0,2 = 1 + |
0,2 |
+ |
0,2 |
+ |
0,22 |
+ L + |
0,2n |
|
+ R (0,2). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
где R (0,2) = |
|
0,2n+1 |
|
e0,2θ , |
0 < q < 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как 0 < q < 1; 2 < e < 3; 1 < e0,2θ < 3, то
( ) < 0,2n+1 Rn 0,2 3 ( ) .
n +1 !
Определим наименьшее значение n так, чтобы выполнялось не-
58
равенство Rn (0,2) < 10−3 .
Если n = 2, то R < 3× |
0,23 |
» 0,0013, а если n = 3, то R < 3 |
0,24 |
» |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
2 |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
» 0,00018 < 10−3. Поэтому |
|
e0,2 »1+ |
0,2 |
+ |
0,22 |
+ |
0,23 |
|
=1,221 |
с |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
|||||
точностью до 10−3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
e |
2 - cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
П р и м е р 6.19. Вычислить |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x3 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Используем формулу Тейлора с остаточными членами в форме Пеано:
sin x = x + 0(x), cos x = 1 - |
x2 |
+ |
x4 |
|
+ 0(x5 ),ez = 1 + z + |
z2 |
+ 0(z3 ). . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
||||||||||||
Из последней формулы при z = - |
x2 |
получим |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
− x2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
+ 0(x6 ). |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
= 1 - |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Искомый предел может быть переписан в виде |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
x2 |
|
|
|
1 - |
x2 |
+ |
x4 |
+ 0(x6 )-1 + |
x2 |
- |
x4 |
+ 0(x5 ) |
|||||||||||||||||
|
e |
2 - cos x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
= lim |
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
2 24 |
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
x3 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 + 0(x4 ) |
|
|||||||||||||||||
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
59