Строительная механика учебник

часто использую тся треугольны е или прям оугольны е (в общ ем слу ­

чае, четы рехугольны е) К Э , при реш ен и и трехм ерны х задач - объем ­

Т

ные К Э в виде тетраэдра или параллелепипеда. В ы бор формы и разм е­

ров К Э оказы вает сущ ественное влияние на результаты расчета, кото­

Н

ры е, естественно, долж ны позволять правильно оценивать напряжУен­

но- деф орм ированное состояние исходной систем ы . П редставление

Б

исследуем ой систем ы как достаточно больш ого набора КЭ значитель­

но увеличивает размерность задачи , ведет к повы ш ению точности рас­

чета, но связано со значительны м объемом вы числений. Ч итатели , ин ­

научной

тересую щ иеся вопросам и оценки погреш ности дискретизации, м огут

найти соответствую щ ие реком ендации в

литературе.

и

. Различаю т узлы

Точки, в которых соединяются К Э , называю т узлами

р

жесткие и ш арнирные. В жестком узле предполагается наличие связей,

обеспечиваю щ их неразрывность линейных

угловых перемещ ений К Э ,

примы каю щ их к этому узлу .

Связи ш а

н

ного узла позволяю т сохра­

нить неразрывность линейны х пе емещ ений. Узловые перемещ ения и

установить их

с действую щ ей на систему нагрузкой . Д ля реали­

соответствую щ ие им узл вые силы принимаю тся за обобщ енны е.

И дея м етода

сос

в

м , чт бы

описать напряж енно-деф ор­

оит

мированное состоян е К Э очерез обобщ енны е перем ещ ения Z узлов и

связь

м о получить м атрицу ж есткости К Э .

зации этой идеи необход

то

Так как ф ункция п ерем ещ ен и й исходн ой систем ы н еи звестн а, то

ее

п

ад авать .

Е сли в м етоде

Р и тц а п редп олагалось, что

н еобх дим

базисны е ф ункции оп ределяю тся одним вы раж ен и ем на всей облас­

ти си стем ы ,

в М К Э реали зуется альтерн ати вн ы й п о д х о д . О н за ­

клю ча тся в то м , что на каж дом К Э

н еизвестны е ф ун кц и и п ерем е­

Р

н и й зам ен яю тся ап п рокси м и рую щ и м и и х таки м

о бр азо м , чтобы

щ

п р м щ н и я всех точек

эл ем ен та бы ли вы раж ены

через у зл о вы е .

еД ля одн ом ерны х эл ем ен то в, с учетом зам ечан и я о п остоянстве ж е ­

сткостей , ф ункция п ерем ещ ен и й является то ч н о й (см . раздел 16.7),

для дву м ер н ы х и тр ех м ер н ы х К Э эти ф ункции зап и сы ваю тся при ­

бли ж ен н о , наиболее часто

- в виде

п о л и н о м о в . П одбор

и х п р ед ­

ставляет собой

достаточн о

слож н ую

зад ач у . О т удачн ого

реш ен и я

ее сущ ественно

зави си т

точн ость

окон чательн ы х

результатов.

С

п ом ощ ью

апп рокси м и рую щ и х ф ункций на

основе

вари ац и он н ы х

при н ц и п ов строи тельн ой м ехан и ки реш ается одна из осн овн ы х за ­

дач М К Э -

определение м атри ц ж есткостей кон ечны х элем ентов.

Так

как

каж дый

стержень в составе

исследуемой

системы

имеет

свою ориентацию , то вначале строят матрицы жесткостей в местной

системе координат, а затем, при переходе от местной системы к общей,

Т

вую щ им объединением матриц ж есткостей отдельных элементов.

У

Разреш аю щ и е уравн ен и я М К Э зап и сы ваю тся в виде:

R Z + R F

— 0 ,

Б

(16.24)

где

R F

-

векто р “ гр у зо в ы х ” р еак ц и

, р ав н ы й векторуНу зл о вы х

й

нагрузок, взятом у с обратны м знаком .

П олн ая

нагрузка

и

как сум м а

нагрузок

от

на у зел определяется

р

н агр у зк а

з а ­

п ри м ы каю щ и х к у зл у элем ентов. Т ак

к ак в н е у зл о в ая

м ен яется эк в и в ал ен тн о й

у зл о во й

по

н ап р авл ен и я м

Z , то

векто р

р ек ц и й

R f —

[

,

R 2F ,...,R n F ]

— - F

, г д е F — [Fb

F 2,...,F n ] -

т

векто р у зл о в ы х н агр у зо к .

R '

о п р ед ел и ть к о н ц ев ы е

за тем с п

м

щ ь юицм атр ы ж е с т к о с т и

П о сл е р еш е н и я си с е м ы у р а в н е н и й (1 6 .2 4 ) ст а н о в я т с я и з ­

в е с тн ы м и п ер е м е щ е н я

оZ у зл в в о б щ ей си с те м е к о о р д и н ат .

н ай т и ве к то р п е р е м е щ е н й Z ' в м е с т н о й с и с те м е к о о р д и н ат , а

р еак ц и и . Ф

зр м у л ы д л я

с о о т в е т с т в у ю щ и х п р е о б р а зо в а н и й п р и ­

ве д е н ы

в р а зд е л а х 16.11

и 16.12.

Т акая ф

а расчета соответствует варианту М К Э ”в п ерем ещ е­

н и ях” . О на является наиболее распространенной .

п

В озм ож ен и другой п одход к реш ен и ю задачи по М К Э . Н ап ря­

ж н н о -д

ф орм и рован н ое состояние К Э н еобходим о описать кон еч ­

е

ны м набором о боб щ ен н ы х узл о вы х сил, а затем у стан ови ть и х связь

с нагрузкой. Т акая ф орм а расчета со о тветствует М К Э “в у си ли ях” .

Р

У

Т

t 7*21 = 0 ^ 5 1 = 0

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

Р

R ' имеет вид:

Матрица

EA

EA

~ T

~ T

12EJ

6EJ

12EJ

6EJ

/ 3

/ 2

/ 3

/ 2

У

6EJ

4E J

6EJ

2EJ

R' —

/ 2

/

/ 2

/

Т

EA

EA

(16.25)

/

12EJ

/

12EJ

6EJ

6EJ

/ 3

/ 2

/ 3

/ 2

6EJ

2EJ

6EJ

4E J

/ 2

/

/ 2

/Н

й

Для стержней с другими условиями закрепленияБэлементы мат­

рицы R'

вычисляются аналогично.

Рассмотрим способы, основанные на

спользовании аппрокси­

мирующих функций перемещений. Необход мый порядок расчета

о

по одному из них, например, для защемленногои

по концам стержня,

представляется следующим.

1.

В линейно деф рмируемрм стержне продольные и попереч­

сечений

с ержней не взаимосвязаны. Поэтому

ные перемещения

функции, описывающ

харак ер изменения перемещений по длине

з

стержня, для н х будуттразличными. Перемещения сечений стерж­

его

ня вдоль

оси в соответствии с дифференциальным уравнением

N —E A и' будем аппроксимировать линейной функцией:

п

и(х) —ai + «4 х .

(16.26)

следствием дифференциального уравнения v (lV) —0 . Следователь­

Р

Изогнутая ось стержня при отсутствии по его длине распределен­

Z1

1

a1

z 2

1

a 2

У

z 3

1

a 3

z ;

1

l

a ;

z 5

Т

1

2l

3l2

a 6

или

Z ' = H a ,

й

(16.31)

где

H

- матрица связи.

и

Б

;. Из (16.31) следует, что:

р

(16.32)

при этом

о

т1

1

и

з

1

H -

о

1/1

=

-1/1

-3/12

-2/ 1

3/12

-1/ 1

2/13

1/12

-2/13

1/12

5.

Вектор перемещений 5 с

помощью

зависимостей (16.29)

Р

и (16.32)ппредставляется в виде:

е

5 = L H -

Z '.

(16.33)

,

х Л

х

1

и — 11— l JZ1+ ~ jZ ; ,

3 х 2

2 х 3 Л

(

о

х

2

3 Л

v =

х

2

х

1—-

/3

Z 3 +

l

У

У

+

( 3 х 2

2 х3 Л

z

5 +

(

х 2 х

3 Л

l 2

3

г

+ ?

Н

d v

6х

6х

; х

3 х 2

Z 2 +

+

Т

— ^

+

1 ——

z

3 +

dх

2

l

l 2

V

l

l 3

V

*

*

*

6 х

6х

2

й

+

------

Z 51 +

—----- +

Z 6.

l 2

l 3

l

l 2

Б

V

*

и

*

У

V

В ы р а ж е н и я д л я и

р

и v с о в п а д а ю т с з а п и с а н н ы м и р а н е е в

р а з д е л е

16.7.

о

Т аким образом , с пом ощ ью (16.26)

ап п рокси м и рую щ его п о л и ­

н ом а

(16.27)

п олучен ы

т чн ы е

ф ункции,

п озволяю щ и е вы числить

т

гиб и у го л п оворота лю бого сече­

гори зон тальн ое перем ещ ен и е, п

н и я стерж ня.

1

1

1

1

1

1

5

6. Узловым перемещ ен ям Z \, Z 2 , Z

3 и Z ; ,

Z

, Z g стерж н я A B

соответствую т реакц

1

1

, R 3 и

1

1

1

1

R j,

R2

R;

, R

5 ,

R , позволяю щ ие

най ти у си л и я

N

и, Q M

в кон ц евы х сечениях. Д ля определения

спE A

d х

E J

d х 3 ,E J

d х 2 .

и х и

льзуемзди ф ф ерен ц и альн ы е зависим ости:

е

оN =

du

Q

d

v M

d

v

Р

Д и ф ф ерен ц и руя в вы раж ен и и (16.29) п ервую и третью строки по

одном у

р азу ,

а

вторую -

три ж ды , н ай д ем

ком п он ен ты вектора

к =

, с п ом ощ ью

которого определяю тся уси -

d х

d х 3 ’

d х 2

лия

N , Q и M

в пром еж уточн ы х сечен и ях стерж ня:

У

к = B H _1 Z ,

(16.34)

где

1

Н

B =

6

Т

2

6х

Б

концевы х сечениях стерж ня образуем

матрицу

й

6

B

B а в , первы е три строки которой соответствую т матрице

при

х = 0 , а остальн ы е - п р и

х = l .

и

1

р

2

6

о

1

си

2

6/

Т огда

вектор

у тл й S = [ N h , Q h , M h

, N _^ , Q ^ , M K

]

м ож но вы числить с пом ощ ью вы раж ения:

п

зS A B =

B а в H — Z

(16.35)

где

Р

Dо- ди агон альн ая м атри ц а ж есткостей:

D

= d ia g [EA , E J , E J , E A , E J , E J ].

7.

Н ап равлен и я п олож и тельн ы х у си л и й N ,

Q и

M в кон ц евы х

сечен и ях

стерж н ей (вектор

S а в ) и

п олож и тельн ы х

р еакц и й

R { ,

R 2 , R 3 ,

R 2 , R 5 ,

R 6 (их н ап равлен и я совп ад аю т с н ап равлен и ям и

ком п он ен тов вектора S ) не совпадаю т. В заи м освязь м еж ду ни м и

м ож но у стан ови ть с п ом ощ ью м атрицы соответстви я зн ако в у си л и й

по вы раж ению :

R ' = И

S A B ■.

(16.36)

где И = d ia g [—1,1, —1,1, —1,1].

У

П одставляя в (16.36) вы раж ен и е (16.35), получим :

Т

Н

R ' = И D B A B H _1 Z 1.

Б

(16.37)

И з (1 6 .3 7 ) сл е д у е т, ч то м а тр и ц а р е а к ц и й о п р е д е л я е т с я по в ы ­

р аж ен и ю :

й

R ' = И

(16.38)

D B АВ H

— 1

и

р

ранее в формуле (16.25).

В торой сп особ п олучен и я м ат

ц ы ж естко сти стерж ня, о сн ован ­

но

анж а, со сто и т в следую щ ем .

н ы й н а и сп ользован и и п ри н ц и п а Л аг

П ри известном у р авн ен и и и з

гн утой оси (см. р аздел

16.7) стер ж ­

н я м атрицу

ж естко с

т

п олучи ть из у сл о ви я

стац и он ар ­

и

его м ж

и

н ости п олн ой энергии . П каж ем это реш ение.

Запиш ем

вы раж ен

е п олн ой эн ерги и дл я защ ем лен н ого по к о н ­

цам стерж ня,

загруж

ен н ого р асп р ед ел ен н о й нагрузкой:

оE J

E J v ft2

—2 (х ) v dх =

Э = 1

2

- + ■

2

= I

^ d 2 ( Z 2 /2 + Z 3 /3 + Z 5 /5 + Z 6 / 6 )

Р

п

2

dх2

(16.39)

е

+

E A f d ( 1 /1 + Z ; / ; )

2

V

dх

J