Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Строительная механика учебник

.pdf
Скачиваний:
145
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
10.86 Mб
Скачать

Ф орм а конечного элем ента (К Э ) предопределяется особенностям и рассчиты ваемого объекта (систем ы , конструкции). В стерж невы х сис­ тем ах за К Э приним аю т стерж ень, как правило, постоянной ж есткости на растяж ение- сж атие и и згиб , или группу взаим освязанны х стерж ­ н ей . Д ля плоских и тонкостенны х континуальны х систем наиболее

часто использую тся треугольны е или прям оугольны е (в общ ем слу ­

чае, четы рехугольны е) К Э , при реш ен и и трехм ерны х задач - объем ­

 

Т

ные К Э в виде тетраэдра или параллелепипеда. В ы бор формы и разм е­

ров К Э оказы вает сущ ественное влияние на результаты расчета, кото­

Н

ры е, естественно, долж ны позволять правильно оценивать напряжУен­

но- деф орм ированное состояние исходной систем ы . П редставление

Б

 

исследуем ой систем ы как достаточно больш ого набора КЭ значитель­

но увеличивает размерность задачи , ведет к повы ш ению точности рас­

чета, но связано со значительны м объемом вы числений. Ч итатели , ин ­

 

 

 

 

 

 

 

научной

 

 

тересую щ иеся вопросам и оценки погреш ности дискретизации, м огут

найти соответствую щ ие реком ендации в

 

 

литературе.

 

 

 

 

 

 

и

 

. Различаю т узлы

 

Точки, в которых соединяются К Э , называю т узлами

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

жесткие и ш арнирные. В жестком узле предполагается наличие связей,

обеспечиваю щ их неразрывность линейных

угловых перемещ ений К Э ,

примы каю щ их к этому узлу .

Связи ш а

н

 

ного узла позволяю т сохра­

нить неразрывность линейны х пе емещ ений. Узловые перемещ ения и

установить их

с действую щ ей на систему нагрузкой . Д ля реали­

соответствую щ ие им узл вые силы принимаю тся за обобщ енны е.

 

И дея м етода

сос

в

м , чт бы

 

описать напряж енно-деф ор­

 

 

 

оит

 

 

 

 

 

 

 

мированное состоян е К Э очерез обобщ енны е перем ещ ения Z узлов и

 

 

связь

м о получить м атрицу ж есткости К Э .

зации этой идеи необход

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как ф ункция п ерем ещ ен и й исходн ой систем ы н еи звестн а, то

ее

п

 

ад авать .

Е сли в м етоде

Р и тц а п редп олагалось, что

н еобх дим

базисны е ф ункции оп ределяю тся одним вы раж ен и ем на всей облас­

ти си стем ы ,

 

в М К Э реали зуется альтерн ати вн ы й п о д х о д . О н за ­

клю ча тся в то м , что на каж дом К Э

н еизвестны е ф ун кц и и п ерем е­

Р

н и й зам ен яю тся ап п рокси м и рую щ и м и и х таки м

о бр азо м , чтобы

щ

п р м щ н и я всех точек

эл ем ен та бы ли вы раж ены

через у зл о вы е .

еД ля одн ом ерны х эл ем ен то в, с учетом зам ечан и я о п остоянстве ж е ­

сткостей , ф ункция п ерем ещ ен и й является то ч н о й (см . раздел 16.7),

для дву м ер н ы х и тр ех м ер н ы х К Э эти ф ункции зап и сы ваю тся при ­

бли ж ен н о , наиболее часто

- в виде

п о л и н о м о в . П одбор

и х п р ед ­

ставляет собой

достаточн о

слож н ую

зад ач у . О т удачн ого

реш ен и я

501

ее сущ ественно

зави си т

точн ость

окон чательн ы х

результатов.

С

п ом ощ ью

апп рокси м и рую щ и х ф ункций на

основе

вари ац и он н ы х

при н ц и п ов строи тельн ой м ехан и ки реш ается одна из осн овн ы х за ­

дач М К Э -

определение м атри ц ж есткостей кон ечны х элем ентов.

 

 

Так

как

каж дый

стержень в составе

исследуемой

системы

имеет

свою ориентацию , то вначале строят матрицы жесткостей в местной

системе координат, а затем, при переходе от местной системы к общей,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

преобразую т их. М атрицу ж есткости всей системы получаю т соответст­

вую щ им объединением матриц ж есткостей отдельных элементов.

У

Разреш аю щ и е уравн ен и я М К Э зап и сы ваю тся в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R Z + R F

— 0 ,

Б

 

(16.24)

где

R F

-

векто р “ гр у зо в ы х ” р еак ц и

, р ав н ы й векторуНу зл о вы х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

нагрузок, взятом у с обратны м знаком .

 

 

 

 

 

 

П олн ая

нагрузка

 

 

 

и

как сум м а

нагрузок

 

от

на у зел определяется

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

н агр у зк а

 

з а ­

п ри м ы каю щ и х к у зл у элем ентов. Т ак

к ак в н е у зл о в ая

 

м ен яется эк в и в ал ен тн о й

у зл о во й

по

н ап р авл ен и я м

Z , то

векто р

р ек ц и й

R f

[

,

R 2F ,...,R n F ]

— - F

, г д е F — [Fb

F 2,...,F n ] -

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векто р у зл о в ы х н агр у зо к .

 

 

 

 

R '

о п р ед ел и ть к о н ц ев ы е

за тем с п

м

щ ь юицм атр ы ж е с т к о с т и

П о сл е р еш е н и я си с е м ы у р а в н е н и й (1 6 .2 4 ) ст а н о в я т с я и з ­

в е с тн ы м и п ер е м е щ е н я

оZ у зл в в о б щ ей си с те м е к о о р д и н ат .

Д л я в ы ч и сл е н я у с л й в к о н еч н о м э л ем ен т е у д о б н о вн ач ал е

 

 

орм

 

н ай т и ве к то р п е р е м е щ е н й Z ' в м е с т н о й с и с те м е к о о р д и н ат , а

р еак ц и и . Ф

зр м у л ы д л я

с о о т в е т с т в у ю щ и х п р е о б р а зо в а н и й п р и ­

ве д е н ы

в р а зд е л а х 16.11

и 16.12.

 

Т акая ф

а расчета соответствует варианту М К Э ”в п ерем ещ е­

н и ях” . О на является наиболее распространенной .

 

п

 

 

 

В озм ож ен и другой п одход к реш ен и ю задачи по М К Э . Н ап ря­

ж н н о -д

ф орм и рован н ое состояние К Э н еобходим о описать кон еч ­

е

 

 

 

ны м набором о боб щ ен н ы х узл о вы х сил, а затем у стан ови ть и х связь

с нагрузкой. Т акая ф орм а расчета со о тветствует М К Э “в у си ли ях” .

Р

 

 

 

 

502

16.11. Матрица жесткости стержня в местной системе координат

Существует несколько способов получения матриц жесткостей отдельных стержней. Одним из наиболее простых является способ, основанный на известных положениях метода перемещений.

 

Конец стержня, примыкающий к жесткому узлу, имеет три сте­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

пени свободы: линейные перемещения по горизонтальному и вер­

тикальному направлениям и угол поворота. Соответствующими

этим смещениям силовыми факторами будут концевые реактивныеУ

силы R1, R2 , R4 , R5 и моменты R3, R6 . (Перемещения, реакции,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

матрица жесткости и ее элементы в местной системе координат обо­

значаются буквами со штрихами). Матрица жесткости (матрица еди­

ничных

 

реакций)

 

преобразует

 

вектор

Нперемещений

Z ' —[

, Z 2, Z 3,

Z 4, Z 5,

Z 6 ]

 

 

й

 

 

в вектор концевых реакций, то есть

имеет место соотношение:

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

"Z1"

 

 

 

 

 

 

R1"

'1,1

 

r12

 

•••

r16

 

 

 

 

 

 

 

R2

>21

о

r26

 

Z2

R' Z '

 

 

 

 

 

r22

 

•••

 

 

 

 

 

 

т

 

•••

r66_

 

 

 

 

 

 

 

R6 _

Г61

 

r62

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ 6_

 

 

 

 

Положительные направления реакций

Rj

соответствуют поло­

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жительным направлениямиZ j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

суть реакции в связях, вызываемые еди­

 

Элементызматрицы R '

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ничными смещениями Z j —1 (рис. 16.12).

 

 

 

 

Р

В

рвом столбце записаны значения реакций от Z1 —1, во вто­

ром - от Z 2 —1 и т. д. Следовательно, для вычисления элементов

матрицы R ' можно использовать данные из таблицы, применяемой в методе перемещений для определения реакций в опорных закреп­ лениях стержня постоянного сечения.

503

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

t 7*21 = 0 ^ 5 1 = 0

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

Рис. 16.12

 

 

 

 

 

Р

 

R ' имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

Матрица

 

 

 

 

 

 

 

504

 

EA

 

 

 

EA

 

 

 

 

 

 

 

~ T

 

 

 

~ T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12EJ

6EJ

 

12EJ

 

6EJ

 

 

 

 

 

 

/ 3

/ 2

 

 

/ 3

 

/ 2

 

У

 

 

 

6EJ

4E J

 

6EJ

 

2EJ

 

 

 

 

 

 

 

 

R'

 

 

/ 2

/

 

 

/ 2

 

/

Т

EA

 

 

 

EA

 

 

 

 

(16.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

12EJ

 

/

 

12EJ

 

6EJ

 

 

 

 

 

6EJ

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 3

/ 2

 

/ 3

 

/ 2

 

 

 

 

 

6EJ

2EJ

 

6EJ

 

4E J

 

 

 

 

 

 

/ 2

/

 

 

/ 2

 

/Н

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

Для стержней с другими условиями закрепленияБэлементы мат­

рицы R'

вычисляются аналогично.

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим способы, основанные на

спользовании аппрокси­

мирующих функций перемещений. Необход мый порядок расчета

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

по одному из них, например, для защемленногои

по концам стержня,

представляется следующим.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

В линейно деф рмируемрм стержне продольные и попереч­

 

 

 

 

сечений

с ержней не взаимосвязаны. Поэтому

ные перемещения

 

функции, описывающ

харак ер изменения перемещений по длине

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

стержня, для н х будуттразличными. Перемещения сечений стерж­

 

его

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ня вдоль

 

оси в соответствии с дифференциальным уравнением

N E A и' будем аппроксимировать линейной функцией:

 

 

 

п

 

 

и(х) —ai + «4 х .

 

 

(16.26)

следствием дифференциального уравнения v (lV) —0 . Следователь­

Р

Изогнутая ось стержня при отсутствии по его длине распределен­

ной нагрузки описывается кривой третьего порядка, что является

но, аппроксимирующий полином третьей степени позволяет точно задать функцию перемещений стержня.

505

 

П усть:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v (х ) = + a 3х + a 5 х

 

2

 

 

3

 

(16.27)

 

 

 

 

 

 

 

+ a 6х .

 

 

 

 

В вы раж ениях (16.26) и (16.27)

a f -

 

 

 

 

 

 

 

У

 

неизвестные параметры; число

и х равн о чи слу степ ен ей свободы .

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

Ф ун кц и и и (х ) и v ( х ) н азы ваю т ф ун кц и ям и формы .

 

 

 

 

 

У гол

 

п оворота сечен и я

стерж н я оп редели тся зн ачен ием

первой

производной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

d v

 

 

,

 

 

о

 

2

Б

 

(16.28)

 

 

 

 

 

 

 

---- =a3+2a5х + 3a6х

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

2.

И сп ользуя

 

зави си м ости

 

d х

 

 

 

 

 

 

 

(16.26),

(16.27)

и (16.28), п редставим

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

вектор п ерем ещ ен и й 5 =

и,

v, ----

 

в следую щ ем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

(16.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 =

L a ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1т

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

где

L

 

 

 

и

 

 

 

 

в:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- м атри ц а коэф ф ициент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

1

 

х

 

 

 

 

х2

 

х 3

 

(16.30)

 

п

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3х2

 

 

 

 

 

 

р н еи звестн ы х парам етров:

 

 

 

 

 

е

a - вект

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

a = [ a a 2 a

3 a 4 a 5 a6 ] .

 

 

 

 

 

3.

 

 

Д ля кон ц евы х то ч ек (х = 0, х = l)

стерж н я с пом ощ ью вы р аж е­

н и й (16.29) и (16.30) получим :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

506

Z1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

z 3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

a 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z ;

 

 

1

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

a ;

 

z 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

z 6

 

 

 

 

1

 

l

 

 

 

l 2

 

l 3

Н

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2l

3l2

 

a 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z ' = H a ,

й

 

 

 

(16.31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

H

- матрица связи.

 

 

и

Б

 

 

;. Из (16.31) следует, что:

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.32)

при этом

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

1/1

 

 

 

 

 

 

=

-1/1

-3/12

 

 

-2/ 1

 

3/12

 

-1/ 1

 

 

 

 

 

2/13

 

 

1/12

 

 

 

-2/13

 

1/12

 

 

5.

Вектор перемещений 5 с

помощью

зависимостей (16.29)

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и (16.32)ппредставляется в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

5 = L H -

Z '.

 

 

 

 

(16.33)

Выполнив перемножение матриц, получим:

507

 

 

 

 

 

 

,

 

х Л

 

 

 

х

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и 11— l JZ1+ ~ jZ ; ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 х 2

2 х 3 Л

 

 

(

 

 

о

х

2

 

 

 

3 Л

 

 

 

 

 

v =

 

 

 

 

х

 

 

2

 

 

 

х

 

 

 

 

 

1—-

/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 3 +

 

 

 

 

 

 

 

l

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

( 3 х 2

2 х3 Л

z

5 +

 

(

 

х 2 х

 

 

3 Л

 

 

 

 

 

 

 

 

l 2

3

 

 

 

 

 

г

+ ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

d v

 

 

6х

6х

 

 

 

 

 

 

 

; х

 

 

3 х 2

 

 

 

 

 

 

Z 2 +

 

 

 

 

+

 

Т

 

 

 

 

 

— ^

+

 

1 ——

 

 

 

 

 

z

3 +

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

l

 

 

 

 

l 2

 

 

 

 

 

V

l

l 3

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 х

6х

 

 

 

 

2

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

------

 

Z 51 +

 

—----- +

 

 

 

 

Z 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

l 2

l 3

 

 

 

 

 

l

 

 

 

l 2

 

Б

 

 

 

 

 

 

V

*

 

 

 

и

*

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В ы р а ж е н и я д л я и

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и v с о в п а д а ю т с з а п и с а н н ы м и р а н е е в

р а з д е л е

16.7.

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т аким образом , с пом ощ ью (16.26)

 

 

ап п рокси м и рую щ его п о л и ­

н ом а

(16.27)

п олучен ы

т чн ы е

ф ункции,

п озволяю щ и е вы числить

 

 

 

 

 

т

 

гиб и у го л п оворота лю бого сече­

гори зон тальн ое перем ещ ен и е, п

н и я стерж ня.

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

6. Узловым перемещ ен ям Z \, Z 2 , Z

3 и Z ; ,

 

Z

, Z g стерж н я A B

соответствую т реакц

1

 

1

, R 3 и

1

 

 

1

 

 

1

1

 

 

R j,

R2

 

 

R;

, R

5 ,

 

R , позволяю щ ие

най ти у си л и я

N

и, Q M

в кон ц евы х сечениях. Д ля определения

спE A

 

d х

E J

 

d х 3 ,E J

 

 

d х 2 .

 

 

 

и х и

льзуемзди ф ф ерен ц и альн ы е зависим ости:

 

 

 

 

 

е

оN =

du

 

Q

 

d

 

v M

 

 

 

d

v

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д и ф ф ерен ц и руя в вы раж ен и и (16.29) п ервую и третью строки по

одном у

р азу ,

а

вторую -

три ж ды , н ай д ем

ком п он ен ты вектора

508

к =

 

 

 

 

, с п ом ощ ью

которого определяю тся уси -

 

 

d х

d х 3 ’

d х 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лия

N , Q и M

в пром еж уточн ы х сечен и ях стерж ня:

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

к = B H _1 Z ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.34)

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Д ля определения усилий в

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

концевы х сечениях стерж ня образуем

матрицу

 

 

 

 

 

 

 

 

й

6

 

 

 

B

B а в , первы е три строки которой соответствую т матрице

при

х = 0 , а остальн ы е - п р и

х = l .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

си

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

6/

 

 

 

 

 

Т огда

вектор

у тл й S = [ N h , Q h , M h

, N _^ , Q ^ , M K

]

м ож но вы числить с пом ощ ью вы раж ения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

зS A B =

B а в H — Z

 

 

 

 

 

(16.35)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

Dо- ди агон альн ая м атри ц а ж есткостей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

= d ia g [EA , E J , E J , E A , E J , E J ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Н ап равлен и я п олож и тельн ы х у си л и й N ,

Q и

M в кон ц евы х

сечен и ях

стерж н ей (вектор

S а в ) и

п олож и тельн ы х

р еакц и й

R { ,

R 2 , R 3 ,

R 2 , R 5 ,

R 6 (их н ап равлен и я совп ад аю т с н ап равлен и ям и

509

ком п он ен тов вектора S ) не совпадаю т. В заи м освязь м еж ду ни м и

м ож но у стан ови ть с п ом ощ ью м атрицы соответстви я зн ако в у си л и й

по вы раж ению :

 

 

 

 

 

 

 

 

R ' = И

S A B ■.

 

 

 

(16.36)

где И = d ia g [—1,1, —1,1, —1,1].

 

 

 

 

 

У

П одставляя в (16.36) вы раж ен и е (16.35), получим :

 

Т

Н

 

R ' = И D B A B H _1 Z 1.

 

 

Б

(16.37)

 

 

 

 

 

 

 

И з (1 6 .3 7 ) сл е д у е т, ч то м а тр и ц а р е а к ц и й о п р е д е л я е т с я по в ы ­

р аж ен и ю :

 

 

й

 

 

 

R ' = И

 

 

 

(16.38)

D B АВ H

1

 

 

В рассм атриваемом случае

м атр

и

(она

ж е является и

ца реакц

р

 

ранее в формуле (16.25).

м атрицей ж есткости) им еет вид, показанны

В торой сп особ п олучен и я м ат

ц ы ж естко сти стерж ня, о сн ован ­

 

 

 

 

 

 

 

 

но

 

анж а, со сто и т в следую щ ем .

н ы й н а и сп ользован и и п ри н ц и п а Л аг

 

П ри известном у р авн ен и и и з

гн утой оси (см. р аздел

16.7) стер ж ­

н я м атрицу

ж естко с

 

т

 

п олучи ть из у сл о ви я

стац и он ар ­

и

его м ж

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

н ости п олн ой энергии . П каж ем это реш ение.

 

 

 

Запиш ем

 

вы раж ен

 

е п олн ой эн ерги и дл я защ ем лен н ого по к о н ­

цам стерж ня,

загруж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ен н ого р асп р ед ел ен н о й нагрузкой:

 

 

 

оE J

E J v ft2

 

 

2 (х ) v =

 

 

 

 

 

 

Э = 1

 

 

2

- + ■

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= I

 

^ d 2 ( Z 2 /2 + Z 3 /3 + Z 5 /5 + Z 6 / 6 )

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

2

 

 

 

 

2

 

 

(16.39)

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

+

E A f d ( 1 /1 + Z ; / ; )

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

V

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) ( Z 2 ./2 + Z 3 / 3 + Z 5 / 5 + Z 6 У б)] ,

510