
Строительная механика учебник
.pdfФ орм а конечного элем ента (К Э ) предопределяется особенностям и рассчиты ваемого объекта (систем ы , конструкции). В стерж невы х сис тем ах за К Э приним аю т стерж ень, как правило, постоянной ж есткости на растяж ение- сж атие и и згиб , или группу взаим освязанны х стерж н ей . Д ля плоских и тонкостенны х континуальны х систем наиболее
часто использую тся треугольны е или прям оугольны е (в общ ем слу |
|
чае, четы рехугольны е) К Э , при реш ен и и трехм ерны х задач - объем |
|
|
Т |
ные К Э в виде тетраэдра или параллелепипеда. В ы бор формы и разм е |
|
ров К Э оказы вает сущ ественное влияние на результаты расчета, кото |
|
Н |
|
ры е, естественно, долж ны позволять правильно оценивать напряжУен |
|
но- деф орм ированное состояние исходной систем ы . П редставление |
|
Б |
|
исследуем ой систем ы как достаточно больш ого набора КЭ значитель |
но увеличивает размерность задачи , ведет к повы ш ению точности рас |
|||||||||||
чета, но связано со значительны м объемом вы числений. Ч итатели , ин |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
научной |
|
|
||
тересую щ иеся вопросам и оценки погреш ности дискретизации, м огут |
|||||||||||
найти соответствую щ ие реком ендации в |
|
|
литературе. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
и |
|
. Различаю т узлы |
||||
|
Точки, в которых соединяются К Э , называю т узлами |
||||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
жесткие и ш арнирные. В жестком узле предполагается наличие связей, |
|||||||||||
обеспечиваю щ их неразрывность линейных |
угловых перемещ ений К Э , |
||||||||||
примы каю щ их к этому узлу . |
Связи ш а |
н |
|
ного узла позволяю т сохра |
|||||||
нить неразрывность линейны х пе емещ ений. Узловые перемещ ения и |
|||||||||||
установить их |
с действую щ ей на систему нагрузкой . Д ля реали |
||||||||||
соответствую щ ие им узл вые силы принимаю тся за обобщ енны е. |
|||||||||||
|
И дея м етода |
сос |
в |
м , чт бы |
|
описать напряж енно-деф ор |
|||||
|
|
|
оит |
|
|
|
|
|
|
|
|
мированное состоян е К Э очерез обобщ енны е перем ещ ения Z узлов и |
|||||||||||
|
|
связь |
м о получить м атрицу ж есткости К Э . |
||||||||
зации этой идеи необход |
|||||||||||
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как ф ункция п ерем ещ ен и й исходн ой систем ы н еи звестн а, то |
||||||||||
ее |
п |
|
ад авать . |
Е сли в м етоде |
Р и тц а п редп олагалось, что |
||||||
н еобх дим |
|||||||||||
базисны е ф ункции оп ределяю тся одним вы раж ен и ем на всей облас |
|||||||||||
ти си стем ы , |
|
в М К Э реали зуется альтерн ати вн ы й п о д х о д . О н за |
|||||||||
клю ча тся в то м , что на каж дом К Э |
н еизвестны е ф ун кц и и п ерем е |
||||||||||
Р |
н и й зам ен яю тся ап п рокси м и рую щ и м и и х таки м |
о бр азо м , чтобы |
|||||||||
щ |
|||||||||||
п р м щ н и я всех точек |
эл ем ен та бы ли вы раж ены |
через у зл о вы е . |
|||||||||
еД ля одн ом ерны х эл ем ен то в, с учетом зам ечан и я о п остоянстве ж е |
|||||||||||
сткостей , ф ункция п ерем ещ ен и й является то ч н о й (см . раздел 16.7), |
|||||||||||
для дву м ер н ы х и тр ех м ер н ы х К Э эти ф ункции зап и сы ваю тся при |
|||||||||||
бли ж ен н о , наиболее часто |
- в виде |
п о л и н о м о в . П одбор |
и х п р ед |
||||||||
ставляет собой |
достаточн о |
слож н ую |
зад ач у . О т удачн ого |
реш ен и я |
501
ее сущ ественно |
зави си т |
точн ость |
окон чательн ы х |
результатов. |
С |
||||||||||||
п ом ощ ью |
апп рокси м и рую щ и х ф ункций на |
основе |
вари ац и он н ы х |
||||||||||||||
при н ц и п ов строи тельн ой м ехан и ки реш ается одна из осн овн ы х за |
|||||||||||||||||
дач М К Э - |
определение м атри ц ж есткостей кон ечны х элем ентов. |
|
|
||||||||||||||
Так |
как |
каж дый |
стержень в составе |
исследуемой |
системы |
имеет |
|||||||||||
свою ориентацию , то вначале строят матрицы жесткостей в местной |
|||||||||||||||||
системе координат, а затем, при переходе от местной системы к общей, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||
преобразую т их. М атрицу ж есткости всей системы получаю т соответст |
|||||||||||||||||
вую щ им объединением матриц ж есткостей отдельных элементов. |
У |
||||||||||||||||
Разреш аю щ и е уравн ен и я М К Э зап и сы ваю тся в виде: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R Z + R F |
— 0 , |
Б |
|
(16.24) |
|||||||
где |
R F |
- |
векто р “ гр у зо в ы х ” р еак ц и |
, р ав н ы й векторуНу зл о вы х |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нагрузок, взятом у с обратны м знаком . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
П олн ая |
нагрузка |
|
|
|
и |
как сум м а |
нагрузок |
|
от |
||||||||
на у зел определяется |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
н агр у зк а |
|
з а |
||||
п ри м ы каю щ и х к у зл у элем ентов. Т ак |
к ак в н е у зл о в ая |
|
|||||||||||||||
м ен яется эк в и в ал ен тн о й |
у зл о во й |
по |
н ап р авл ен и я м |
Z , то |
векто р |
||||||||||||
р ек ц и й |
R f — |
[ |
, |
R 2F ,...,R n F ] |
— - F |
, г д е F — [Fb |
F 2,...,F n ] - |
||||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векто р у зл о в ы х н агр у зо к . |
|
|
|
|
R ' |
о п р ед ел и ть к о н ц ев ы е |
|||||||||||
за тем с п |
м |
щ ь юицм атр ы ж е с т к о с т и |
|||||||||||||||
П о сл е р еш е н и я си с е м ы у р а в н е н и й (1 6 .2 4 ) ст а н о в я т с я и з |
|||||||||||||||||
в е с тн ы м и п ер е м е щ е н я |
оZ у зл в в о б щ ей си с те м е к о о р д и н ат . |
Д л я в ы ч и сл е н я у с л й в к о н еч н о м э л ем ен т е у д о б н о вн ач ал е
|
|
орм |
|
|
н ай т и ве к то р п е р е м е щ е н й Z ' в м е с т н о й с и с те м е к о о р д и н ат , а |
||||
р еак ц и и . Ф |
зр м у л ы д л я |
с о о т в е т с т в у ю щ и х п р е о б р а зо в а н и й п р и |
||
ве д е н ы |
в р а зд е л а х 16.11 |
и 16.12. |
||
|
Т акая ф |
а расчета соответствует варианту М К Э ”в п ерем ещ е |
||
н и ях” . О на является наиболее распространенной . |
||||
|
п |
|
|
|
|
В озм ож ен и другой п одход к реш ен и ю задачи по М К Э . Н ап ря |
|||
ж н н о -д |
ф орм и рован н ое состояние К Э н еобходим о описать кон еч |
|||
е |
|
|
|
|
ны м набором о боб щ ен н ы х узл о вы х сил, а затем у стан ови ть и х связь |
||||
с нагрузкой. Т акая ф орм а расчета со о тветствует М К Э “в у си ли ях” . |
||||
Р |
|
|
|
|
502
16.11. Матрица жесткости стержня в местной системе координат
Существует несколько способов получения матриц жесткостей отдельных стержней. Одним из наиболее простых является способ, основанный на известных положениях метода перемещений.
|
Конец стержня, примыкающий к жесткому узлу, имеет три сте |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
пени свободы: линейные перемещения по горизонтальному и вер |
||||||||||||||
тикальному направлениям и угол поворота. Соответствующими |
||||||||||||||
этим смещениям силовыми факторами будут концевые реактивныеУ |
||||||||||||||
силы R1, R2 , R4 , R5 и моменты R3, R6 . (Перемещения, реакции, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
матрица жесткости и ее элементы в местной системе координат обо |
||||||||||||||
значаются буквами со штрихами). Матрица жесткости (матрица еди |
||||||||||||||
ничных |
|
реакций) |
|
преобразует |
|
вектор |
Нперемещений |
|||||||
Z ' —[ |
, Z 2, Z 3, |
Z 4, Z 5, |
Z 6 ] |
|
|
й |
|
|
||||||
в вектор концевых реакций, то есть |
||||||||||||||
имеет место соотношение: |
|
|
|
|
и |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
"Z1" |
|
|
|
||
|
|
|
R1" |
'1,1 |
|
r12 |
|
••• |
r16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
— >21 |
о |
r26 |
|
Z2 |
—R' Z ' |
|
||||
|
|
|
|
r22 |
|
••• |
|
|
||||||
|
|
|
|
т |
|
••• |
r66_ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
R6 _ |
Г61 |
|
r62 |
|
Z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 6_ |
|
|
|
||
|
Положительные направления реакций |
Rj |
соответствуют поло |
|||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жительным направлениямиZ j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
п |
|
|
суть реакции в связях, вызываемые еди |
||||||||||
|
Элементызматрицы R ' |
|||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ничными смещениями Z j —1 (рис. 16.12). |
|
|
|
|
||||||||||
Р |
В |
рвом столбце записаны значения реакций от Z1 —1, во вто |
ром - от Z 2 —1 и т. д. Следовательно, для вычисления элементов
матрицы R ' можно использовать данные из таблицы, применяемой в методе перемещений для определения реакций в опорных закреп лениях стержня постоянного сечения.
503
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
t 7*21 = 0 ^ 5 1 = 0 |
Н |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
Рис. 16.12 |
|
|
|
|
|
||
Р |
|
R ' имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Матрица |
|
|
|
|
|
|
|
504
|
EA |
|
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ T |
|
|
|
~ T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12EJ |
6EJ |
|
12EJ |
|
6EJ |
|
|
||
|
|
|
|
/ 3 |
/ 2 |
|
|
/ 3 |
|
/ 2 |
|
У |
|
|
|
6EJ |
4E J |
|
6EJ |
|
2EJ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R' — |
|
|
/ 2 |
/ |
|
|
/ 2 |
|
/ |
Т |
||
EA |
|
|
|
EA |
|
|
|
|
(16.25) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ |
12EJ |
|
/ |
|
12EJ |
|
6EJ |
|
|
|
|
|
|
6EJ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/ 3 |
/ 2 |
|
/ 3 |
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
6EJ |
2EJ |
|
6EJ |
|
4E J |
|
|
||
|
|
|
|
/ 2 |
/ |
|
|
/ 2 |
|
/Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
||
|
Для стержней с другими условиями закрепленияБэлементы мат |
|||||||||||
рицы R' |
вычисляются аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рассмотрим способы, основанные на |
спользовании аппрокси |
||||||||||
мирующих функций перемещений. Необход мый порядок расчета |
||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
по одному из них, например, для защемленногои |
по концам стержня, |
|||||||||||
представляется следующим. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1. |
В линейно деф рмируемрм стержне продольные и попереч |
||||||||||
|
|
|
|
сечений |
с ержней не взаимосвязаны. Поэтому |
|||||||
ные перемещения |
|
|||||||||||
функции, описывающ |
харак ер изменения перемещений по длине |
|||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стержня, для н х будуттразличными. Перемещения сечений стерж |
||||||||||||
|
его |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ня вдоль |
|
оси в соответствии с дифференциальным уравнением |
||||||||||
N —E A и' будем аппроксимировать линейной функцией: |
|
|
||||||||||
|
п |
|
|
и(х) —ai + «4 х . |
|
|
(16.26) |
|||||
следствием дифференциального уравнения v (lV) —0 . Следователь |
||||||||||||
Р |
Изогнутая ось стержня при отсутствии по его длине распределен |
ной нагрузки описывается кривой третьего порядка, что является
но, аппроксимирующий полином третьей степени позволяет точно задать функцию перемещений стержня.
505
|
П усть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
v (х ) = + a 3х + a 5 х |
|
2 |
|
|
3 |
|
(16.27) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ a 6х . |
|
|
|
||||||||||
|
В вы раж ениях (16.26) и (16.27) |
a f - |
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||
|
неизвестные параметры; число |
|||||||||||||||||||
и х равн о чи слу степ ен ей свободы . |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||||||
|
Ф ун кц и и и (х ) и v ( х ) н азы ваю т ф ун кц и ям и формы . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
У гол |
|
п оворота сечен и я |
стерж н я оп редели тся зн ачен ием |
первой |
|||||||||||||||
производной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
d v |
|
|
, |
|
|
о |
|
2 |
Б |
|
(16.28) |
||
|
|
|
|
|
|
|
---- =a3+2a5х + 3a6х |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dх |
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|||
|
2. |
И сп ользуя |
|
зави си м ости |
|
d х |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(16.26), |
(16.27) |
и (16.28), п редставим |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|||
вектор п ерем ещ ен и й 5 = |
и, |
v, ---- |
|
в следую щ ем виде: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
(16.29) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 = |
L a , |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1т |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
где |
L |
|
|
|
и |
|
|
|
|
в: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- м атри ц а коэф ф ициент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
L |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
1 |
|
х |
|
|
|
|
х2 |
|
х 3 |
|
(16.30) |
||||
|
п |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2х |
|
3х2 |
|
|
|
|||
|
|
|
р н еи звестн ы х парам етров: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
е |
a - вект |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р |
|
|
|
|
|
|
a = [ a a 2 a |
3 a 4 a 5 a6 ] . |
|
|
|
|
||||||||
|
3. |
|
|
Д ля кон ц евы х то ч ек (х = 0, х = l) |
стерж н я с пом ощ ью вы р аж е |
|||||||||||||||
н и й (16.29) и (16.30) получим : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
506
Z1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
z 3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z ; |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
a ; |
|
z 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
z 6 |
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
l 2 |
|
l 3 |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2l |
3l2 |
|
a 6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z ' = H a , |
й |
|
|
|
(16.31) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
H |
- матрица связи. |
|
|
и |
Б |
|
|
||||||||
;. Из (16.31) следует, что: |
р |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.32) |
||||
при этом |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
т1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
о |
|
|
|
|
|
|
1/1 |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
-1/1 |
-3/12 |
|
|
-2/ 1 |
|
3/12 |
|
-1/ 1 |
|
|
|||||
|
|
|
2/13 |
|
|
1/12 |
|
|
|
-2/13 |
|
1/12 |
|
|
||
5. |
Вектор перемещений 5 с |
помощью |
зависимостей (16.29) |
|||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (16.32)ппредставляется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
е |
|
|
|
|
|
5 = L H - |
Z '. |
|
|
|
|
(16.33) |
Выполнив перемножение матриц, получим:
507
|
|
|
|
|
|
, |
|
х Л |
|
|
|
х |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
и — 11— l JZ1+ ~ jZ ; , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 х 2 |
2 х 3 Л |
|
|
( |
|
|
о |
х |
2 |
|
|
|
3 Л |
|
|
|
|||
|
|
v = |
|
|
|
|
х |
|
|
2 |
|
|
|
х |
|
|
|
|||||||
|
|
1—- |
/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 3 + |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
l |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
( 3 х 2 |
2 х3 Л |
z |
5 + |
|
( |
|
х 2 х |
|
|
3 Л |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
l 2 |
3 |
|
|
|
|
|
г |
+ ? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||||
|
|
d v |
|
|
6х |
6х |
|
|
|
|
|
|
|
; х |
|
|
3 х 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
Z 2 + |
|
|
|
|
+ |
|
Т |
||||||||||||
|
|
|
|
|
— ^ |
+ |
|
1 —— |
|
|
|
|
|
z |
3 + |
|||||||||
|
|
dх |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l 2 |
|
|
|||||
|
|
|
V |
l |
l 3 |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6 х |
6х |
|
|
|
|
2 |
|
й |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
|
------ |
|
Z 51 + |
|
—----- + |
|
|
|
|
Z 6. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
l 2 |
l 3 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l 2 |
|
Б |
|
|
||||
|
|
|
|
V |
* |
|
|
|
и |
* |
|
У |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В ы р а ж е н и я д л я и |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и v с о в п а д а ю т с з а п и с а н н ы м и р а н е е в |
||||||||||||||||||||||||
р а з д е л е |
16.7. |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т аким образом , с пом ощ ью (16.26) |
|
|
ап п рокси м и рую щ его п о л и |
|||||||||||||||||||||
н ом а |
(16.27) |
п олучен ы |
т чн ы е |
ф ункции, |
п озволяю щ и е вы числить |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
гиб и у го л п оворота лю бого сече |
|||||||||||||||||
гори зон тальн ое перем ещ ен и е, п |
||||||||||||||||||||||||
н и я стерж ня. |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||
6. Узловым перемещ ен ям Z \, Z 2 , Z |
3 и Z ; , |
|
Z |
, Z g стерж н я A B |
||||||||||||||||||||
соответствую т реакц |
1 |
|
1 |
, R 3 и |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||||||
R j, |
R2 |
|
|
R; |
, R |
5 , |
|
R , позволяю щ ие |
||||||||||||||||
най ти у си л и я |
N |
и, Q M |
в кон ц евы х сечениях. Д ля определения |
|||||||||||||||||||||
спE A |
|
d х |
E J |
|
d х 3 ,E J |
|
|
d х 2 . |
|
|
|
|||||||||||||
и х и |
льзуемзди ф ф ерен ц и альн ы е зависим ости: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
е |
оN = |
du |
|
Q |
|
d |
|
v M |
|
|
|
d |
v |
|
|
|
|
|
||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Д и ф ф ерен ц и руя в вы раж ен и и (16.29) п ервую и третью строки по |
||||||||||||||||||||||||
одном у |
р азу , |
а |
вторую - |
три ж ды , н ай д ем |
ком п он ен ты вектора |
508
к = |
|
|
|
|
, с п ом ощ ью |
которого определяю тся уси - |
||||||||||||
|
|
d х |
d х 3 ’ |
d х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лия |
N , Q и M |
в пром еж уточн ы х сечен и ях стерж ня: |
|
|
|
У |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
к = B H _1 Z , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.34) |
||||||
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Н |
|
||
|
|
|
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6х |
|
|
||
|
Д ля определения усилий в |
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||||||||
|
концевы х сечениях стерж ня образуем |
|||||||||||||||||
матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
6 |
|
|
|
B |
||||
B а в , первы е три строки которой соответствую т матрице |
||||||||||||||||||
при |
х = 0 , а остальн ы е - п р и |
х = l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
си |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6/ |
|
|
|
|
||
|
Т огда |
вектор |
у тл й S = [ N h , Q h , M h |
, N _^ , Q ^ , M K |
] |
|||||||||||||
м ож но вы числить с пом ощ ью вы раж ения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
п |
зS A B = |
B а в H — Z |
|
|
|
|
|
(16.35) |
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
Dо- ди агон альн ая м атри ц а ж есткостей: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
D |
= d ia g [EA , E J , E J , E A , E J , E J ]. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
7. |
Н ап равлен и я п олож и тельн ы х у си л и й N , |
Q и |
M в кон ц евы х |
||||||||||||||
сечен и ях |
стерж н ей (вектор |
S а в ) и |
п олож и тельн ы х |
р еакц и й |
R { , |
|||||||||||||
R 2 , R 3 , |
R 2 , R 5 , |
R 6 (их н ап равлен и я совп ад аю т с н ап равлен и ям и |
509
ком п он ен тов вектора S ) не совпадаю т. В заи м освязь м еж ду ни м и |
||||||||
м ож но у стан ови ть с п ом ощ ью м атрицы соответстви я зн ако в у си л и й |
||||||||
по вы раж ению : |
|
|
|
|
|
|
|
|
R ' = И |
S A B ■. |
|
|
|
(16.36) |
|||
где И = d ia g [—1,1, —1,1, —1,1]. |
|
|
|
|
|
У |
||
П одставляя в (16.36) вы раж ен и е (16.35), получим : |
|
Т |
||||||
Н |
|
|||||||
R ' = И D B A B H _1 Z 1. |
|
|
||||||
Б |
(16.37) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
И з (1 6 .3 7 ) сл е д у е т, ч то м а тр и ц а р е а к ц и й о п р е д е л я е т с я по в ы |
||||||||
р аж ен и ю : |
|
|
й |
|
|
|
||
R ' = И |
|
|
|
(16.38) |
||||
D B АВ H |
— 1 |
|
|
|||||
В рассм атриваемом случае |
м атр |
и |
(она |
ж е является и |
||||
ца реакц |
||||||||
р |
|
ранее в формуле (16.25). |
||||||
м атрицей ж есткости) им еет вид, показанны |
||||||||
В торой сп особ п олучен и я м ат |
ц ы ж естко сти стерж ня, о сн ован |
|
|
|
|
|
|
|
|
но |
|
анж а, со сто и т в следую щ ем . |
|||
н ы й н а и сп ользован и и п ри н ц и п а Л аг |
|||||||||||||
|
П ри известном у р авн ен и и и з |
гн утой оси (см. р аздел |
16.7) стер ж |
||||||||||
н я м атрицу |
ж естко с |
|
т |
|
п олучи ть из у сл о ви я |
стац и он ар |
|||||||
и |
его м ж |
|
|||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|||
н ости п олн ой энергии . П каж ем это реш ение. |
|
|
|||||||||||
|
Запиш ем |
|
вы раж ен |
|
е п олн ой эн ерги и дл я защ ем лен н ого по к о н |
||||||||
цам стерж ня, |
загруж |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ен н ого р асп р ед ел ен н о й нагрузкой: |
|
|||||||||||
|
|
оE J |
E J v ft2 |
|
|
—2 (х ) v dх = |
|
|
|||||
|
|
|
|
Э = 1 |
|
|
2 |
- + ■ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= I |
|
^ d 2 ( Z 2 /2 + Z 3 /3 + Z 5 /5 + Z 6 / 6 ) |
|
|
|||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
2 |
|
|
|
|
dх2 |
|
|
(16.39) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
е |
|
|
+ |
E A f d ( 1 /1 + Z ; / ; ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
V |
dх |
J |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—) ( Z 2 ./2 + Z 3 / 3 + Z 5 / 5 + Z 6 У б)] dх,
510