Строительная механика учебник

16.7.

Расчет упругих систем

У

на основе принципа вариации перемещений

Т

П ерем ещ ение лю бой точки (сечения) стерж ня (рис.

16.9) с учетом

общ еприняты х

допущ ений однозначно вы раж ается

через

узловы е

Н

Так, горизонтальное перем ещ ение

сечен и я C, как следует из рис.

16.10, о п ределяется по форм уле:

и =

Z 1 f 1 -

x

l + Z 4 x = Z 1 f 1(x ) + Z 4 f 4 (x ) ,

(16.16)

где

f ( x ) , f 4( x )

-

й

базисны е (координатны е)Бф ункции.

У

р

Ш

Z

6* Z

о

и

/ U

Z 4

ZZ ' A ? C

Z 4

x

Zi

x

m

т

>

Vя

'A

v/л

1

и

1

з

Рис. 16.10

Р с. 16.9

Д ля

о

я

п ерем ещ ений,

вы зы ваем ы х только у зловы м и

п ределен

п

Z 2 ,

Z

3 ,

Z 5 и

Z 6 ,

и спользуем ди ф ф ерен ц и альн ое

см ещ ен и ям и

уравнение:

е

d 4v

= 0.

Р

d x 4

О бщ ее реш ен и е его и м еет вид:

v = C 1x 3 + C22x + C 3x + C 4 .

Н айдем , н априм ер,

у равн ен и е

и зогн утой

о си

дл я

загруж ен и я

стерж н я в виде

Z 2 = 1. Г ран и чн ы е у слови я д л я этого случая:

x = 0 v = 1;

x = 0 v ' = 0 ;

У

x = l

v = 0 ;

x = l

V = 0 .

Т

Р еш ив

систем у

уравн ен и й четвертого

порядка,

получим зн ач е ­

н ия п рои звольн ы х

п остоян н ы х C 1,

C 2 ,

C 3 ,

C 4 . У равнение

и зо ­

гн утой о си зап и ш ется так:

Н

3 x 2

2x 3

v = 1------- ^

+

l 2

l 3

'

Д ля други х

еди н и чн ы х у зл о вы х

й

по

см ещ ен и защ ем лен н ого

концам стерж н я кривы е п роги бов зап

сан ы в таблБ. 16.1.

и

Таблица 16.1

№

Схема стержня.

Уравнение

п/п

Вид смещения

р

изогнутой оси

1

т

3

2

f f

и

о

i (x

)

1

з

3x 2

2 x 3

о

f 2 (x) = 1 - ^

1

п

е

/

\ f 3 ( x )

т

2

3

2

. . . .

2 x

x

.

f 3 (x) =

x

,

+ j2

Р

X

l

l

3

|

f 5 ( x

)

^

^

------- ( К

3 x 2

2 x 3

f 5 ( x ) = ~

~

1

2

3

f

x )

2

3

4

x

x

f 6 ( x)

= -

T + 7

5

Т

|

f7(x )

Н

У

Б

^

f7 ( x) = 1 - ^

й

2 l2

2l

Л f s(x)

и

6

3x 2

x 3

р

/o( x) —x ----------1------

J8 ;

2l

2l 2

X

-

о

т

3x 2

x 3

7

I f 9( x ) ^

^

2

Л

1

f 9(x) —^

----- 3

з

2l2

2l

Х

^ Х

Пользуясь

принципом независимости действия сил, перемеще­

ние сечения C

(рис. 16.9) по вертикали представим в виде:

п

е

о

о

2

3 ^

2x

x

Р

1 -

l 2

+

l 3

+ Z 3

Vx -

l

+ V

+

+ Z 5

+ Z 6

( x2

+

x3 ^

(16.17)

l 2

В ы раж ение

дл я оп ределен и я

у гл а

поворота

сечен и я

получим

ди ф ф ерен ц и рован и ем

v — v ( x )

по

x .

Д ля стерж ня, защ ем ленного на одном конце и ш арнирно опертого

на другом, кривы е прогибов при единичны х узловы х см ещ ениях и со ­

ответствую щ ие им функции перемещ ений показаны в табл. 16.1.

У

В общ ем случае, для ди скретн ой си стем ы вы раж ен и е д л я оп ре­

Т

делен и я п ерем ещ ен и я н екоторой то ч ки м ож но представи ть в виде:

Z

— Z1 f

1( j ) + Z 2 f

2 ( s) + ... + Z„

f

n (s) ,

(16.18)

здесь f t (s )

- базисны е

ф ункции,

Н

соответствую щ и е

о бо б щ ен ­

ны м п ерем ещ ен и ям Z i .

Б

Ч исло таких уравнений соответствует числу деф орм ируем ы х эле­

м ентов системы и числу видов (линейных, угловы х) перемещ ений.

Д ля стерж н евы х систем эти ур авн ен

я будут точн ы м и , для ко н ­

ти н уальн ы х - приближ енны м и .

йги ю си стем ы

В

связи с излож енны м ,

р

м ож н о п р ед ­

п олн ую

эн е

ставить в виде

о

(координат)

ф ун кц и и n

бобщ ен н ы х п ерем ещ ен и й

и нагрузки:

т

и

Z 2

,..., Z n, F ) .

Э

— 3 (

Z 1,

з

онарнос

и:

Т огда услови е стац

о

£ Z 2 + ... + —

5 Z n — 0

6 Э — —иS Z 1 + —

п

5 Z 1

1

d Z 2

2

d Z n

е

и н еи зм ен н ой нагрузке

F п о зво ­

при н езави си м ы х вар и ац и ях 8 Z i

Р

олучи ть n

у р авн ен и й для оп ределен и я Z i :

ли т

дЭ

dU

дП

п

----- —------+ ------—0,

dZ1dZ1

dZ 1

...................................

(16.19)

дЭ

dU

дП

л

------- —--------

+ --------

—0.

d Z n

d Z n

d Z n

Т

Для линейно-упругой системы

полная энергия вычисляется по

Н

формуле (16.13), поэтому уравнения (16.19) в развернутой формеУза­

писи принимают вид канонических уравнений метода перемещений:

Б

r 11Z 1+r 12Z 2+... +r 1nZ n+R 1F —0 ,

й

rn1Z 1+r n2Z 2+... +r nnZ n+RnF

—0.

и

Для нелинейно деформируемых с стем уравнения (16.19) будут

нелинейными относительно Z i .

Вследствие особенностей у авнен й (16.18) для континуальных

систем, из (16.19) можно найти т лько п иближенные значения Z i .

В этом случае уравнения (16.19)рназывают уравнениями метода

Ритца, который, как о мечал сь ранее, относится к прямым методам

вариационного

сч слен я.о

16.8. Принц

т

п вар ац и напряжений или внутренних сил

Для люб й

неопределимой системы существует множе­

статически

ство функций распределения усилий в ее элементах, удовлетворяю­

з

щих усл виям равновесия, то есть каждая из них является статически

до устимой. Среди этого множества находятся и истинные функции.

о

Пусть в стержне, элементы которого испытывают только растяже­

-псжатие, истинные функции нормальных усилий N (x) и соответ­

ствующих им нормальных напряжений

<г(x)

получили прираще­

ние

ние 5 N (x) и 5<г(x) , а вариация нагрузки 5F(x) —0 . Считаем, что на

вариациях 5 о перемещения непрерывны и выполняются условия со­

Р

налож енными на

нее

связями. П редположим, что полученные новые

функции N + 5 N

и а

+ 5 а являю тся статически допустимыми.

В соответстви и с прин ц и п ом возм ож н ы х п ерем ещ ен и й д л я си с­

тем ы , находящ ей ся

в равн овеси и ,

работа всех

си л на возм ож н ы х

п ерем ещ ен и ях р авн а нулю . В озм ож н ая раб о та сам оуравн овеш ен н ой

си стем ы вн утрен н и х си л

5N м ож ет бы ть зап и сан а в виде:

У

5A

— —JJJs 5 а d V —0 ,

Т

V

Н

где

s

5 а

— 5 U 0доп -

при ращ ен и е у д ел ьн о й (на единицу объем а

м атери ала)

Б

сил

д оп олн и тельн ой работы вн утрен н и х

(рис. 16.11).

й

о

и

т

ви

Рис.р16.11

Н еслож но показа

ь, ч

п ри веден н ы й ход рассуж ден и й не и зм е ­

з

н и тся и для иного

д а деф орм ац и и элем ента.

П ри

н али чи

п ри н уди тельны х

см ещ ен и й v i

сечен и й (не н ар у ­

ш аю щ и х

о

перемещ ений

и совместности

де­

усл

вий непреры вности

формаций), в к т

ры х действую т по их направлениям силовые ф акто­

ры S j , д

лнительная возм ож ная работа определится по выражению :

Р

п

П — t S

i 5 v j .

еУ чи ты вая потен ц и ал и эти х сил, окончательно у слови е равен ства

5 (u доп + П ) —0,

(16.20)

U доп — Ц |и 0допd V .

У

V

Т

Э то равен ство п ред ставляет собой ф орм альн ую зап и сь принци­

па вариации напряженного состояния. Ф орм ули ровка принципа:

Н

из всех статически возможных напряжений и усилий в системе

истинными являются те, которые удовлетворяют условию ста­

ционарности функционала

U доп +

Б

д л я э то го

П . В ы р а ж е н и е

ф у н к ц и о н а л а д о л ж н о б ы ть за п и с а н о ч е р е з в н у т р е н н и е си л ы .

й

Э т о т п р и н ц и п н а зы в а ю т в а р и а ц и о н н ы м п р и н ц и п о м К а с т и л и а -

но (1 8 4 7 -1 8 8 4 ) .

си

Д ля

л и н ей н о деф о р м и р у ем о й

стем ы

U

—U ,

п оэтом у

при П — 0 получим :

о

(16.21)

т

5 U — 0 .

Э то

р авен ство н азы ваю

услрвием наименьшей работы. О но

п ред ставляет соб ой ф рмальную запись принципа минимума

потенциальной энерг

деформации упругой системы.

з

е пр

нципа вариации внутренних сил

о

16.9. Применен

п

ик расчету упругих систем

За

но-у

ф орм ы

n + 1 обобщ енны х сил

X ь X 2,..., X n , F ,

где

X j

- н еи з­

Р

уси ли я в лиш них связях основной системы , а

F

-

заданная

в стны

енагрузка. П олагая обобщ енны е силы независим ы м и, получим:

U —U ( X 1, X 2,..., X n, F ) —

1

2

—2 ( 511

X 1 + 512 X 1 X 2 + ... + 51n X 1 X n + 51F X 1 F +

+

5nF X n F +

У

+ 5F1 X 1 F +

5 F2 X 2 F

+ ... + 5 Fn X n F

+

5FF F 2 ) .

В арьи руем ы м и п ерем ен н ы м и в этом

Н

вестны е силы

X j , задан н ая нагрузка F

Б

Т

н еи зм ен н а.

У словие стац и он арн ости U

представи м в в и д е :

5 r — d U 5

5 U 5

й

—

3 U 5

5 U

—------ 5 X 1

+----5 X

2 + ... +----------- 5 X n

— 0 .

d X 1

1

d X

2

вели

n

2

5 X n

Т огда при

н езави си м ы х ва

р

чи н X

j из последнего

и ац

ях

вы раж ен и я следует, что:

о

d U

т

— 0, . . . , j U

— 0 .

(16.22)

— 0

,

и

d X 2

5 X n

d X 1

з

В разверн утой ф орм е зап и си эти равен ства п ред ставляю т собой

о

си стем у n

л и н ей н ы х кан он и чески х у р авн ен и й м етода сил:

п

A1F —0

е

511 X 1 + 512 X 2 +... + 51nX n +

521 X 1

+ 522 X 2 +... + 52n

X n + A2F —0,

Р

5n1 X 1

+ 5n2 X 2 + ... + 5nn X n + A nF —0.

5 и —-

д2U

У

3

dXjdX j

Т

Следовательно,

Б

d2U

д2U

d2U

5 11

5 12...

5 1n

Н(16.23)

A —

й

5 n1

5 n2 ...

5 nn

Для физически нелинейной

с стемы

равенства

необходимо

dU

—0,

dU

р

dU

—0.

—0

dX1

и

dX n

dX2

з

Получаемые уравнен я будут нелинейными относительно X j .

конечных элементов (МКЭ) является эффективным числен­

п

Метод

16.10. Сущность метода конечных элементов

ным м тодом решения прикладных задач и широко используется для

Р