
- •Министерство образования республики беларусь
- •П р о г р а м м а Тема 1. Ряды
- •Тема 2. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Литература:
- •Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда
- •Свойства степенных рядов
- •2. Теория вероятностей и математическая статистика
- •2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •2.1. Теорема сложения
- •2.2. Теорема умножения вероятностей
- •3. Формула полной вероятности и формула байеса
- •4. Повторение испытаний
- •4.1. Формула Бернулли
- •4.2. Формула Пуассона
- •4.3. Локальная теорема Лапласа
- •4.5. Наивероятнейшее число появлений события
- •5. Случайные величины
- •5.1. Понятие случайной величины
- •5.2.Функция распределения случайной величины
- •5.3. Плотность вероятностей непрерывной случайной величины
- •6. Числовые характеристики случайных величин
- •7. Основные законы распределения случайных величин
- •7.1. Биномиальный закон распределения
- •7.2. Закон распределения Пуассона
- •7.3. Равномерное распределение
- •7.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •7.5. Нормальный закон распределения
- •8. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Контрольное задание № 3
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
2.1. Теорема сложения
Вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB). (1)
Если события A и B несовместны (т.е. в результате опыта они не могут появиться вместе), то P(A+B)=P(A)+P(B). (2)
Следствие.
Вероятность события , противоположного
данному событию A,
равна
. (3)
Для
вероятности суммы 3 событий формула (1)
обобщается так:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC).
Если события A,
B,
C
попарно несовместны,
то
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
2.2. Теорема умножения вероятностей
Вероятность
произведения двух событий A
и B
равна вероятности одного из них,
умноженной на условную вероятность
другого события, при условии, что первое
произошло, т.е.
P(AB)=P(A)
P(B/A)=P(B)
P(A/B). (4)
Если
события A
и B
независимы (т.е. появление одного из них
не меняет вероятности появления другого),
то
P(AB)=P(A)P(B). (5)
Формула
(4) верна и для любого конечного числа
событий
:
(6)
Если
события
взаимно независимы (в совокупности),
то
. (7)
Вероятность
появления хотя бы одного из независимых
событий
равна
. (8)
Пример 3. Для производственной практики на 30 студентов представлено 15 мест в Минске, 8 - в Гомеле и 7 - в Витебске. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город?
Решение.
Рассмотрим события: A={2
определенных студента попадут на
практику в Минск}, B={2
определенных студента попадут на
практику в Гомель}, C={2
определенных студента попадут на
практику в Витебск}. Эти события попарно
несовместны. Событие D={2
определенных студента попадут в один
город} есть сумма указанных событий. По
формуле (2) имеем P(D)=P(A)+P(B)+P(C).
По классическому определению вероятностей
.
Тогда
.
Пример 4. Имеется блок, входящий в систему. Вероятность безотказной работы его в течение заданного времени T равна 0,85. Для повышения надежности устанавливают такой же резервный блок. Определить вероятность безотказной работы за время Т с учетом резервного времени.
Решение. Введем события: А={безотказная работа данного блока за время Т}, B={ безотказная работа резервного блока за время Т}. По условию P(A)=P(B)=0,85. Пусть событие С={ безотказная работа данного блока с учетом резервного за время Т}. Так как события А и В - совместны, но независимы, то по формулам (1), (5) получим P(C)=P(A)+P(B)–P(A)P(B)=0,85+0,85–0,850,85=0,9775.
Пример 5.
Рабочий, обслуживающий 2 станка, вынужден
был отлучиться на некоторое время.
Вероятность того, что в течение этого
времени станки не потребуют внимания
рабочего, равны
и
.
Найти вероятность того, что за время
отсутствия рабочего ни один станок не
потребует его внимания.
Решение. Пусть событие А={первый станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}, B={второй станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}. Эти события независимы, поэтому по формуле (5) получим: P(AB)=P(A)P(B)=0,70,8=0,56.
Пример 6. У сборщика имеется 6 деталей без дефекта и 2 детали с дефектом. Сборщик берет подряд 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали - без дефекта.
Решение.
Пусть событие А={первая
деталь - без дефекта}, B={вторая
деталь - без дефекта}. Нас интересует
событие АВ.
По теореме умножения вероятностей
(формула (4)) имеем
.
Пример 7. 3 стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка - 0,6, для второго - 0,7, для третьего - 0,8. Найти вероятность одного попадания в цель.
Решение.
Пусть
={попаданиеi-го
стрелка в цель), противоположные события
={промахi-го
стрелка}, i=1,2,3. Рассмотрим событие А={одно
попадание в цель при стрельбе 3 стрелков}.
Это событие может наступить при
наступлении одного из следующих
несовместных событий:
.
Тогда
,
а его вероятность
Пример 8. Техническое устройство, состоящее из 3 узлов, работало в течение некоторого времени Т. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью 0,1, второй - с вероятностью 0,15, третий - с вероятностью 0,12. Найти вероятность того, что за время работы хотя бы 1 узел технического устройства выйдет из строя.
Решение.
Пусть событие
={выход
из строяi-го
узла технического устройства}
.
Тогда событие
- выход из строя хотя бы одного из 5 узлов.
События
совместны и независимы. Поэтому
вероятность событияА
определяется по формуле (8):
Следовательно,P(A)=1-0,90,850,88=1-0,6732=0,3268.