Литература:

1. Гусак А.А. Высшая математика. Т.2. Учебник для студентов

вузов. – 3-е изд. стереотип. – Мн.: ТетраСистемс, 2001 г.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории

вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1980 г.

3. Метельский А.В., Морозов И.М., Наумович Р.Ф., Покатилова

М.Н. Учебно-методическое пособие по высшей математике по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика». – М.: БГПА, 1999 г.

4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. /

Под общей редакцией Лябушко А.П. – Мн., Высшая школа, части 3, 4, 1990 г.

5. Щипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа,

1985г.

1. Ряды

1. Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов

Выражение вида

U₁ + U₂ + … U_n + … = (1.1)

где U_nR, называется числовым рядом. ЧислаU₁,U₂, …,U_n… называются членами ряда, аU_n– общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член: U_n=f(n),nN, т.е. задана функция натурального аргумента.

Суммы

S₁ = U₁; S₂ = U₁ + U₂, …; S_n = (1.2)

называются частичными суммами ряда (1.1).

Если существует конечный предел S_n=S, то ряд (1.1) называетсясходящимся,а числоS– его суммой. Если жеS_n не существует илиS_n= ∞, то ряд (1.1) называетсярасходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд (1.1) сходится, тоU_n= 0.

Следствие. ЕслиU_n≠ 0, то ряд (1.1) расходится.

Ряд называется гармоническим рядом.

Для него U_n= 0, но ряд расходится.

2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

1. Признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными

членами:

(1.3)

и

, (1.4)

причем члены ряда (1.3) не превосходят соответствующих членов ряда (1.4), т.е. при любом n

.

Тогда: а) если сходится ряд (1.4), то сходится и ряд (1.3);

б) если расходится ряд (1.3), то расходуется и ряд (1.4).

2. Предельный признак сравнения: Если существует конечный предел

то ряды (1.3) и (1.4) одновременно сходятся, либо расходятся.

3. Признак Даламбера: Если два ряда (1.3) существует

то если l< 1 – ряд (1.3) сходится;

l> 1 – ряд (1.3) расходится;

l= 1, ответа не дает.

4. Радикальный признак Коши: Если для ряда (1.3) существует

предел

то, если q< 1 – ряд (1.3) сходится;

q > 1 – ряд (1.3) расходится;

q= 1 ответа не дает.

5. Интегральный признак Коши: Пусть члены ряда (1.3) положительны

и не возрастают при n→ ∞, т.е.

и пусть f(x) – положительная, непрерывная, невозрастающая функция на [1, ∞] такая, что

f(1) = U₁, f(2) = U₂, …, f(n) = U_n.

Тогда ряд (1.3) сходится, если сходится несобственный интеграли расходится, если этот интеграл расходится.

Пример 1.1

Установить, сходится ли ряд исходя из определения его суммы:

а) б) 2 + 5 + 8 +11 + …

Решение

а)

S= следовательно, по определению ряд сходится.

б) 2 + 5 + 8 + 11 + …

a_n = a₁ + d (n - 1), a₁ = 2, d = 3, => a_n = 2 + 3 (n – 1).

S= => ряд по определению расходится.

Пример 1.2.

Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда:

а) б)

Решение

а) => ряд расходится.

б) => необходимый признак сходимости ряда выполняется.

Пример 1.3.

Исследовать сходимость рядов

а) б)в)

г) д)

Решение. а). Сравним данный ряд с рядом расходящимся. Так как>(lnn<n), то по признаку сравнения данный ряд расходится.

б). Сравним с рядом ,p= 3 > 1, ряд сходится.

По предельному признаку сравнения

следовательно, данный ряд сходится.

Для сравнения часто используются ряды:

1) - геометрическая прогрессия, при< 1 – ряд сходится, при- расходится.

2) - обобщенный гармонический ряд, приp> 1 сходится; при- расходится.

в). По признаку Даламбера < 1, следовательно, данный ряд расходится.

г). По радикальному признаку Коши:

< 1, следовательно, ряд сходится.

д). По интегральному признаку Коши:

- невозрастающая функция, так как ее производная< 0 приx> 1.

Имеем

следовательно, несобственный интеграл расходится, значит, и ряд расходится.