7.3. Равномерное распределение

Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, все значения которой лежат на некотором отрезке [a,b] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке. Таким образом, ее плотность вероятности

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое равномерно распределенной СВ определяются формулами . (17) Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (,), представляющий собой часть промежутка [a,b], вычисляется по формуле . (18)

Пример 26. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину, которая распределена равномерно в интервале между соседними делениями. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения, равна 0,2, поэтому

а). Очевидно, что ошибка отсчета не превысит 0,04, если она будет заключена в интервалах (0; 0,04) или (0,16; 0,2). Тогда искомую вероятность получим по формуле (18) p=P(0<<0,04)+P(0,16<<0,2)=50,04+50,04=0,4.

б). Ошибка отсчета превысит 0,05, если она будет заключена в интервале (0,05; 0,15). Тогда искомую вероятность получим по формуле (18) p=P(0,05<<0,15)=50,1=0,5.

7.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной СВ , плотность которой имеет вид (19) где - постоянная положительная величина.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны . (20)

Функция распределения показательного закона (21)

Вероятность попадания в интервал (a,b) непрерывной СВ , распределенной по показательному закону: . (22)

Замечательным свойством показательного закона распределения является то, что при наступлении события x случайная величина =-x имеет такой же закон распределения, как и величина . Это свойство объясняет, почему показательный закон распределения имеют такие случайные величины, как время работы различных технических и радиотехнических систем, механизмов, время распада радиоактивного атома, время обслуживания технической системы, длительность телефонного разговора и т.д.

Пример 27. Время Т безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием - 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя за 80 ч.

Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины Т равно 100 часов. Следовательно, 1/=100. Отсюда =10^-2=0,01. Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя будет иметь вид Функция распределенияопределяет вероятность отказа двигателя за время длительностьюt. Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна . ФункциюR(t) называют функцией надежности. Для случая нашей задачи эта вероятность будет равна .