Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

херня / матем / Matematika_4_sem.bakalavry.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

993.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Лекция №4

“ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ”

В этой главе мы рассмотрим определение и основные свойства преобразования Лапласа, на базе которого в последующем будет строиться операционное исчисление.

Для этого нам понадобятся уже известные сведения из теории функций комплексного переменного. Именно применение этой теории и обеспечит сравнительную простоту изучения свойств преобразования Лапласа и использование этих свойств в таком важном разделе математики, как решение дифференциальных уравнений, и таком важном разделе электротехники, как изучение переходных процессов в электрических цепях.

Определение. Преобразованием Лапласа функции действительного переменного f (t) называется функция комплексного переменного F(р), определяемая формулой


F ( p) f (t)e ptdt.	(1)
0
Несобственный интеграл в правой части равенства, зависящий	от комплексного

параметра р, называется интегралом Лапласа. Свойства интегралов, зависящих от комплексного параметра, используемые в дальнейшем, аналогичны соответствующим свойствам интегралов, зависящих от действительного параметра.

Прежде всего установим, какие функции f(t) мы будем рассматривать и какие условия надо на них наложить, чтобы несобственный интеграл (1) сходился и действительно определял некоторую функцию F(р). Будем предполагать следующее:

1) Функция f (t) кусочно-непрерывная при t 0; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва только первого рода (в каждом конечном интервале число таких точек разрыва обязательно конечно).

2) Функция f (t) равна нулю при отрицательных значениях t
f (t) = 0 при t < 0.	(2)
Так как в интеграле Лапласа значения функции f (t) при	t 0 вообще не

участвуют, то не имеет значения, чему они равны. Как будет видно из дальнейшего, удобнее считать, что они равны нулю. При изучении многих физических процессов роль переменной t играет время и сказанное означает, что процесс начинается с некоторого

момента времени (удобнее всего считать, что в момент t = 0).
3) При возрастании t модуль функции f(t) может	возрастать, но не быстрее
некоторой показательной функции, т.е.
\|f(t)\| Me t ,	(3)

где М и постоянные.

Последнее условие обеспечивает, как мы вскоре убедимся, сходимость интеграла Лапласа. Условию 3) удовлетворяют, конечно, все ограниченные функции (в частности, sin t и cos t ); в этом случае можно положить равным нулю: |f(t)| M.

Любая функция f (t) , удовлетворяющая сформулированным выше трем условиям, называется оригиналом; функцию F ( p) , определяемую формулой (1), будем называть изображением (для ясности иногда говорят изображением по Лапласу). Соответствие между оригиналом f (t) и изображением F ( p) записывается в виде f (t) F( p) или

F( p) f (t) .

Приведем пример. Пусть (t) – единичная функция

t 0,

(t) =

t 0.

(4)

График ее приведен на рис. 1; ясно, что она является оригиналом. Для нее

e pt

F ( p) e ptdt

(t)

Рис. 1

причем последнее заключение можно сделать только в том случае,

когда

e-pt 0

при t .

Если р = + is,

то

|e-pt| =

e t ist

e t . Последнее выражение

стремится к нулю при

t , если 0 . Таким образом,

интеграл Лапласа для

единичной функции сходится при Re p 0 , и ее изображением является функция

Так как мы условились, что всякий оригинал равен нулю при

t 0 , то для простоты

будем писать, что единичная функция (t) = 1, и тогда соответствие запишется так:

(5)

Вообще, если речь идет о какой-то функции f(t), например, о sin t, cos t, et

и т.д., то

всегда подразумеваются следующие функции:

t 0,

f1(t)

t 0

f2 (t)

f3 (t)

t 0.

sin t,

cos t,

С помощью единичной функции

(t)

можно было бы записать f1(t) ( t ) sin t ,

f2 (t) ( t ) cos t ,

f3 (t) (t) et, однако для сокращения записи множитель (t) мы будем

опускать и просто писать

f (t) sin t , f

(t) cos t , f

(t) et .

Покажем, что каждому оригиналу f (t) соответствует изображение F(р) и установим

общие свойства изображений.

Теорема.

Пусть

функция

f(t)

является

оригиналом.

Тогда

интеграл

Лапласа

F(р)= f (t)e pt dt

сходится абсолютно для всех значений комплексной переменной р,

удовлетворяющих

условию

Re p > , т.е.

в полуплоскости

Re p , где

постоянная, участвующая в условии 3) .

В качестве примера найдем изображение функции

eat ,

где

а= + i

любое

комплексное число. Разумеется,

согласно нашему условию,

при

t 0 функция равна

нулю. Условия 1) и 3), очевидно, выполняются, причем в силу равенства eat

положить М = 1 и = . Интегрируя, получим

						e	( p a)t		1

	ea t e	pt dt e ( p a)t dt								,
						( p a)			p a
	0		0					0

	e-(p-а)t			t
если только		0	при		. Последнее же имеет
Re( p a) Re p 0 , т.е. при			Re p . Таким образом,

eat	1	,

	p a
	p a
и если а = 0, то мы снова получаем формулу (5): 1			1	.
и если а = 0, то мы снова получаем формулу (5): 1				.
			p

e t , можно

место при

(6)

Свойства преобразования Лапласа.

В этом параграфе мы рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа и составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами и их изображениями. Для сокращения записи условимся, что оригиналы

будут обозначаться через		f (t) , g(t) и т. д., а их изображения соответственно через F(p),
G(p),..., т.е. f(t) F(p),		g(t)	G(p). Напомним также, что мы уже имеем формулу
соответствия (6): eat		1	и, в частности, 1	1	.
	p a			p

1.Теорема линейности. Для любых действительных или комплексных постоянных

Аи В

A f(t) + B g(t) A F(p) + B G(p),

(7)

т. е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

В качестве применения этой теоремы найдем изображения тригонометрических и гиперболических функций. По формулам Эйлера

	ei t e	i t		ei t e	i t
sin t			, cos t			.
	2i			2

Полагая в формуле (4.6) a = i и применяя теорему линейности, получим

	1	1	1
sin t					,
sin t					,
				p2 2
	2i p i		p i	p2 2

	1		1		1		p
cos t								.
cos t								.
	2					p2 2
	2	p i			p i	p2 2
Опять пользуясь теоремой линейности, легко получим
sin( t + ) = sin t cos + cos t sin cos p sin									,
							p 2 2
cos( t + )				p cos sin			.
cos( t + )							.
					p2 2

Совершенно аналогично, исходя из определения гиперболических функций

sh t =	e t e t	, ch t =	e t e t
	2		2

(8)

(9)

(10)

(11)

найдем, что
sh t				ch t =				p
			,						.	(12)
		p 2 2	,				p 2	2	.	(12)
2. Теорема подобия.	Для любого постоянного > 0
		f( t)		1	p
					F	,				(13)
					F	,				(13)

т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению

аргумента изображения и самого изображения						F ( p)		на то же число .
Допустим, что нам была бы известна формула (8) только для частного случая = 1,
т. е. sin t	1	. Тогда, воспользовавшись теоремой подобия, мы получили бы

	p 2 1
		sin t =	1	1					,
		sin t =	p		2		p 2	2	,
			p		2		p 2	2
					1
					1

что в точности совпадает с формулой (8).

3. Теорема смещения в изображении (затухания). Для любого действительного

или комплексного числа a
eat f (t) F( p a),					(14)
т. е. умножение оригинала, на функцию	eat	влечет за собой смещение независимой
переменной р.
4. Теорема дифференцирования оригинала. Если f (t) F( p) , то
f (t) pF( p) f (0),					(15)
т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на р					его изображения и
вычитанию f(0).
В частности, если f(0) = 0, то
f (t) pF( p).					(16)
Применяя теорему повторно, получим
		p	2
f (t) p pF( p) f (0) f	(0)	p		F ( p) pf (0) f (0),

f(t) p( p2F ( p) pf (0) f (0)) f (0)

p3F ( p) p2 f (0) pf (0) f (0),

и, вообще,

f (n) (t) pnF( p) pn 1 f (0) pn 2 f (0) f (n 1) (0).	(17)
Самый простой случай тот, когда все начальные значения функции и ее
производных равны нулю:
f (0) f (0) f (n 1) (0) 0,
тогда
f (n) (t) pn F( p),	(18)

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке матем

#
31.05.2015477.68 Кб43115-2012.pdf
#
31.05.20157.71 Mб31287-2008 (матем).doc
#
31.05.2015993.49 Кб44Matematika_4_sem.bakalavry.pdf
#
31.05.2015664.48 Кб222Teorija_verojatnostei_AMs._EH.pdf

“ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ”

В этой главе мы рассмотрим определение и основные свойства преобразования Лапласа, на базе которого в последующем будет строиться операционное исчисление.

В качестве применения этой теоремы найдем изображения тригонометрических и гиперболических функций. По формулам Эйлера

Опять пользуясь теоремой линейности, легко получим

Применяя теорему повторно, получим