Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

херня / матем / Matematika_4_sem.bakalavry.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

993.49 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

4 - СЕМЕСТР

Лекция №1

“ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ”

В настоящей главе будут рассмотрены ряды, являющиеся важным математическим аппаратом, применяемым для вычислений и исследований как в различных разделах

самой математики, так и во многих ее приложениях.
Основные	определения.	Пусть	дана	числовая	последовательность
a1, a2 , a3 , , an , Выражение вида

	a1 a2 a3	an an .			(1)

n 1

называется числовым рядом или просто рядом.

Числа a1, a2 , , an , называются членами ряда, член an с произвольным номером

общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда

S1 a1, S2 a1 a2 , S3 a1 a2 a3 , , Sn a1 a2 a3 an ,

называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

S1 , S2 , S3 , , Sn ,

(2)

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:

S a1 a2 a3 an или S an .

n 1

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется

расходящимся.

Пример. Покажем, что ряд

		1						1				1								1										1
		1						1				1								1										1

			1 2					2 3		3 4											n(n 1)								n(n 1)
																											n 1
сходится. Возьмем сумму Sn первых п членов ряда
								Sn						1					1					1				.
								Sn										2		3								.
													1 2					2		3					n(n 1)
Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде
	1	1		1			;	1			1				1	;	1					1	1		; ;		1				1		1			.
1 2		1					;									;									; ;											.
1 2				2 2 3							2 3 3 4 3 4															n(n 1) n							n 1
Поэтому
					1				1			1					1				1				1		1					1
	Sn	1																												1					.
	Sn	1							2			3					3										n 1			1		n			.
						2			2			3					3				4				n		n 1					n		1

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице:

		1		1
lim Sn lim 1			1 lim		1.

n	n	n 1	n n 1

Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.

Пример. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии

a aq aq2 aqn 1

aqn 1, a 0.

(3)

n 1

Частичная сумма Sn

этого ряда при q 1имеет вид

a aq aq 2 aq n 1

a aqn

aq n

1 q

Отсюда:

1) если

1, то lim Sn

lim

aq n

n 1 q

т. е. ряд сходится и его сумма

Например, при а = 1, q

имеем:

1 q

S 1

2n 1

1, то lim Sn

a aqn

2) если

lim

, т. е. ряд расходится;

1 q

q 1

a a a a . В

при

ряд (3)

принимает

вид

этом

случае

lim Sn

lim a a a a

lim n a , т.е. ряд расходится;

n раз

4) при q 1 ряд (3) принимает вид

a a a a . Для него Sn

a( 1)n

т.е. Sn 0 при n четном и Sn a при п нечетном. Следовательно, lim Sn

не существует

и ряд расходится.

Таким образом, ряд (3) является сходящимся при

1и расходящимся при

Свойства сходящихся рядов.

Теорема 1. Если сходится ряд

a1 a2 ak 1

ak ak 1

an 1 an an ,

(4)

n 1

то сходится и ряд

ak 1 an 1

an ,

(5)

n k 1

и обратно, если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4).

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного

числа его первых членов.

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия.

Теорема 2. Если ряд an сходится и его сумма равна S, то и ряд can , где с

n 1

некоторое число, также сходится, и его сумма равна cS.


Теорема 3. Если ряды an	и bn сходятся и их суммы соответственно равны
n 1	n 1

S и , то и ряд an bn
n 1
сходится и его сумма равна S ± .

Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.

Необходимое условие сходимости ряда. При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму. Будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необходимое условие сходимости рядов.


Теорема 4. Если ряд an сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е.
n 1
lim an 0.
n
Условие lim an 0 является			необходимым,		но		не достаточным условием
n
сходимости ряда.

Пример. Рассмотрим ряд	1	1	1	1		1	,
Пример. Рассмотрим ряд	1						,
	2		3	n		n
					n 1

который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармонического ряда


выполнено необходимое условие сходимости, так как lim an lim		1	0. Докажем, что
			0. Докажем, что
n	n n

этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S мы бы имели

lim (S2n Sn ) lim

S2n lim Sn S S 0.

Но S2n

n 2

2n 2n 2n

2n 2

т.е. S

Отсюда

следует,

что равенство

lim S

0 невозможно, т. е.

гармонический ряд расходится.

Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.

Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то теорема 4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

Ряды с неотрицательными членами.

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных условий сходимости рядов с неотрицательными членами. Предварительно сформулируем теорему, которая будет использована в последующих рассуждениях.

Теорема 5. Для того чтобы ряд an с неотрицательными членами сходился,

n 1

необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Достаточные условия сходимости ряда. Установим ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Теорема 6 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

an и bn и для всех n выполняется неравенство

an bn .

Тогда из сходимости

n 1

ряда

bn следует сходимость ряда

an , а из расходимости

ряда an следует

n 1

расходимость ряда bn .

n 1

Пример. Ряд

сходится, так как сходится ряд из членов геометрической

n 1

прогрессии:

1 ,

n 1

n 1 2

а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся

геометрической прогрессии:

1)n 1

2n 1

Пример. Ряд

s 1

расходится, поскольку его члены не меньше членов

n 1

гармонического ряда

, а гармонический ряд расходится.

n 1

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.

Теорема 7 (п р и з н а к Д а л а м б е р а). Пусть дан ряд an с положительными

				n 1
членами и существует предел	lim	an 1	. Тогда а) при	1 ряд сходится; б) при
членами и существует предел	lim	an	. Тогда а) при	1 ряд сходится; б) при
	n	an
1 ряд расходится.

З а м е ч а н и е. При	1, как показывают примеры, ряд				an может как

n 1

сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример. Ряд 1 сходится, так как

n 1 n!

lim

an 1

lim

0 1.

n an

n n 1 !

n n 1

Пример. Ряд

расходится, так как

lim

an 1

n 1

n 1 n 1n!

n 1

lim

n 1 ! nn

Пример. Рассмотрим ряд

. Имеем

n 1

	1 n	e 1.
lim 1

n	n

lim	an 1	lim		n	1. Согласно

n	an	n	n 1

признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 2), этот ряд расходится.

Теорема 8 (интегральный признак). Пусть дан ряд

f (1) f (2) f (3) f (n) f (n),

n 1

члены которого являются

значениями

некоторой

функции

f (x) , положительной,

непрерывной и убывающей на полуинтервале

1, . Тогда, если f (x)dx сходится, то сходится и ряд

f (n) ;

если же f (x)dx расходится, то ряд f (n)

также расходится.

n 1

Пример. Рассмотрим ряд

( 0 ).

n 1

С помощью интегрального признака выясним поведение данного ряда при 0 .

Возьмем в качестве функции

f (x)

функцию

x 1 , которая удовлетворяет условиям

теоремы

8. Члены ряда равны значениям

этой функции при

x 1, 2, 3, , n, Как

известно,

несобственный интеграл

при 1

сходится,

а при 1 расходится.

Следовательно, данный ряд сходится при 1 и расходится при 1.

Заметим, что при 0 такие ряды также расходятся,

так как их общий член не

стремится к нулю при n , т.

е.

нарушается необходимое условие сходимости ряда

(см. теорему 4).

В частности, при 2 имеем сходящийся ряд

; при

1 расходящийся

n 1

гармонический ряд

; при

pacходящийся ряд

; и т.д.

n 1

Знакочередующиеся ряды.

До сих пор мы рассматривали ряды с неотрицательными членами. Ряды с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем 1, поэтому вопрос о их сходимости решается аналогично.

Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде

a	a	2	a	3	a	4	( 1)n 1 a	n	,	(6)
1		2		3		4		n

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке матем

#
31.05.2015477.68 Кб43115-2012.pdf
#
31.05.20157.71 Mб31287-2008 (матем).doc
#
31.05.2015993.49 Кб44Matematika_4_sem.bakalavry.pdf
#
31.05.2015664.48 Кб222Teorija_verojatnostei_AMs._EH.pdf