Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

херня / матем / Teorija_verojatnostei_AMs._EH.pdf

Скачиваний:

221

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

664.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Пример 36. Задана плотность распределения вероятности случайной величины Х

	0	при	x 0 ,
f(x)=	2х	при	0 x 1 ,
	0	при	x 1.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение. Искомая вероятность

P 0,5 X 1 2 xdx 1 0,25 0,75.

0,5

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

F(x)= f x dx ,

а, зная функцию распределения, может быть найдена плотность распределения, а именно:

f(x)= F x .

Пример 37. Найти функцию распределения по данной плотноcти распределения:

	0	при	x a ,
f(x)=	1/(b-a)	при	0 x b ,
	0	при	x b .
Воспользуемся формулой F(x)= f x dx . Если x a , f(x)=0, следовательно,

F(x)=0. Если 0 x b , то f(x)= 1/(b-a), следовательно, F(x)=				f x dx = a 0dx

x a

a b adx = b a .

Если x>b, то F(x)=

0	b	dx	x	b a
0dx +			+ 0dx =		1.
0dx +			+ 0dx =	b a	1.
	a b a		b	b a

Итак, искомая функция распределения

	0	при	x a ,
F (x)=	(x-a)/(b-a)	при	a x b ,
	1	при	x b .

Свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x) 0 .

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

f x dx =1.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то

f x dx =1.

22.8. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, воз-

можные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

М(х)= xf x dx .

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a,b], то

D x [x M X ]2 f x dx.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины

определяется, как и для величины дискретной

X D X .

22.9.Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

	1		2			2
f x				e x a	/ 2	.

		2

Здесь a - математическое ожидание,					- среднее квадратическое от-

клонение нормального распределения. Достаточно знать эти два параметра,

чтобы задать нормальное распределение.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис. 2, 3). Изменение величины параметра а (матема-

	f(x)
f(x)	1
	1

				7,5
0	a	x	3	x
0		x	0	x
			0
	Рис. 2			Рис. 3

тического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает. С возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу (рис. 3).

22.10. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Как было сказано ранее, если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу , , такова:

P X f x dx .

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу, , равна

	1			2	2
P X			e x a / 2			dx .


		2

Преобразовав эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами, окончательно получаем формулу для вычисления вероятности того, что непрерывная случайная величина, распределенная по нормальному закону, примет значение, принадлежащее интервалу ,

	a		a
P X Ф		- Ф		,	(8)

где Ф(х) – функция Лапласа (8).

Пример 38. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой ве-

личины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой (1.8). По условию,10, 50, a 30, 10, следовательно,

	50 30	10 30
P 10 X 50 Ф		- Ф		=2Ф(2).


	10		10

По таблице находим Ф(2)=0,4772. Отсюда, искомая вероятность

P 10 X 50 2 0,4772 0,9544.

Если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, то можно использовать правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. Если это условие выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Приложение 1

		Таблица значений функции x										1	e x	2	/ 2
														2


												2
												2
	0	1	2	3	4	5	6		7	8		9
0,0	0,39	398	398	398	398	398	398		398	397	397
	89	9	9	8	6	4	2		0	7		3
0,1	397	396	396	395	395	394	393		393	392	391
	0	5	1	6	1	5	9		2	5		8
0,2	391	390	389	388	387	386	385		384	383	382
	0	2	4	5	6	7	7		7	6		5
0,3	381	380	379	377	376	375	373		372	371	369
	4	2	0	8	5	2	9		6	2		7
0,4	368	366	365	363	362	360	358		357	355	353
	3	8	2	7	1	5	9		2	5		8
0,5	352	350	348	346	344	342	341		339	337	335
	1	3	5	7	8	9	0		1	2		2
0,6	333	331	329	327	325	323	320		318	316	314
	2	2	2	1	1	0	9		7	6		4
0,7	312	310	307	305	303	301	298		296	294	292
	3	1	9	6	4	1	9		6	3		0
0,8	289	287	285	282	280	278	275		273	270	268
	7	4	0	7	3	0	6		2	9		5
0,9	266	263	261	258	256	254	251		249	246	244
	1	7	3	9	5	1	6		2	8		4
1,0	0,24	239	237	234	232	229	227		225	222	220
	20	6	1	7	3	9			1	7		3
1,1	217	215	213	210	208	205	203		201	198	196
	9	5	1	7	3	9	6		2	9		5
1,2	194	191	189	187	184	182	180		178	175	173
	2	9	5	2	9	6	4		1	8		6
1,3	171	169	166	164	162	160	158		156	153	151
	4	1	9	7	6	4	2		1	9		8
1,4	149	147	145	143	141	139	137		135	133	131
	1	6	6	5	5	4	4		4	4		5
1,5	129	127	125	123	121	120	118		116	114	112
	5	6	7	8	9	0	2		3	5		7
1,6	110	109	107	105	104	102	100		098	097	095
	9	2	4	7	0	3	6		9	3		7
1,7	094	092	090	089	087	086	084		083	081	080
	0	5	9	3	8	3	8		3	8		4
1,8	079	077	076	074	073	072	070		069	068	066
	0	5	1	8	4	1	7		4	1		9
1,9	065	064	063	062	060	059	058		057	056	055
	6	4	2	0	8	6	4		3	2		1
2,0	0,05	052	051	050	049	048	047		046	045	044
								33

	40	9	9	8	8	8		8		8	9	9
2,1	044	043	042	041	040	039	038		037		037	036
	0	1	2	3	4	6		7		9	1	3
2,2	035	034	033	033	032	031	031		030		029	029
	5	7	9	2	5	7		0		3	7	0
2,3	028	027	027	026	025	025	024		024		023	022
	3	7	0	4	8	2		6		1	5	9
2,4	022	021	021	020	020	019	019		018		018	018
	4	9	3	8	3	8		4		9	4	0
2,5	017	017	016	016	015	015	015		014		014	013
	5	1	7	3	8	4		1		7	3	9
2,6	013	013	012	012	012	011	011		011		011	010
	6	2	9	6	2	9		6		3	0	7
2,7	010	010	009	009	009	009	008		008		008	008
	4	1	9	6	3	1		8		6	4	1
2,8	007	007	007	007	007	006	006		006		006	006
	9	7	5	3	1	9		7		5	3	1
2,9	006	005	005	005	005	005	005		004		004	004
	0	8	6	5	3	1		0		8	7	6
3,0	0.00	004	004	004	003	003	003		003		003	003
	44	3	2	0	9	8		7		6	5	4
3,1	003	003	003	003	002	002	002		002		002	002
	3	2	1	0	9	8		7		6	5	5
3,2	002	002	002	002	002	002	002		001		001	001
	4	3	2	2	1	0		0		9	8	8
3,3	001	001	001	001	001	001	001		001		001	001
	7	7	6	6	5	5		4		4	3	3
3,4	001	001	001	001	001	001	001		001		000	000
	2	2	2	1	1	0	0		0		9	9
3,5	000	000	000	000	000	000	000		000		000	000
	9	8	8	8	8	7	7		7		7	6
3,6	000	000	000	000	000	000	000		000		000	000
	6	6	6	5	5	5			5		5	4
3,7	000	000	000	000	000	000	000		000		000	000
	4	4	4	4	4	4	3		3		3	3
3,8	000	000	000	000	000	000	000		000		000	000
	3	3	3	3	3	2	2		2		2	2
3,9	000	000	000	000	000	000	000		000		000	000
	2	2	2	2	2	2	2		2		1	1

Приложение 2

		Таблица значений функции Ф x						1


								2
								2

x	Ф(х)	x	Ф(x)	x	Ф (x)	x	Ф (x)

0,00	0,0000	0,24	0,0948	0,48	0,1844	0,72	0,2642
0,01	0,0040	0,25	0,0987	0,49	0,1879	0,73	0,2673
0,02	0,0080	0,26	0,1026	0,50	0,1915	0,74	0,2703
0,03	0,0120	0,27	0,1064	0,51	0,1950	0,75	0,2734
0,04	0,0160	0,28	0,1103	0,5	0,1985	0,76	0,2764
0,05	0,0199	0,29	0,1141	0,53	0,2019	0,77	0,2794
0,06	0,0239	0,30	0,1179	0,54	0,2054	0,78	0,2823
0,07	0,0279	0,31	0,1217	0,55	0,2088	0,79	0,2852
0,08	0,0319	0,32	0,1255	0,56	0,2123	0,80	0,2881
0,09	0,0359	0,33	0,1293	0,57	0,2157	0,81	0,2910
0,10	0,0398	0,34	0,1331	0,58	0,2190	0,82	0,2939
0,11	0,0438	0,35	0,1368	0,59	0,2224	0,83	0,2967
0,12	0,0478	0,36	0,1406	0,60	0,2257	0,84	0,2995
0,13	0,0517	0,37	0,1443	0,61	0,2291	0,85	0, 3023
0,14	0,0557	0,38	0,1480	0,62	0,2324	0,86	0,3051
0,15	0,0596	0,39	0,1517	0,63	0,2357	0,87	0,3078
0,16	0,0636	0,40	0,1554	0,64	0,2389	0,88	0,3106
0,17	0,0675	0,41	0,1591	0,65	0,2422	0,89	0,3133
0,18	0,0714	0,42	0,1628	0,66	0,2454	0,90	0,3159
0,19	0,0753	0,43	0,1664	0,67	0,2486	0,91	0,3186
0,20	0,0793	0,44	0,1700	0,68	0,2517	0,92	0,3212
0,21	0,0832	0,45	0,1736	0,69	0,2549	0,93	0,3238
0,22	0,0871	0,46	0,1772	0,70	0,2580	0,94	0,3264
0,23	0,0910	0,47	0,1808	0,71	0,2611	0,95	0,3289

x z2 / 2

e dz

Продолжение прил. 2

x	Ф (x)	x	Ф(x)	x		Ф(x)		x		Ф(x)
0,96	0,3315	1,37	0,4147	1,78	0,4025		2,30		0,4909
0,97	0,3340	1 ,38	0,4162	1,79	0,4633		2.38		0,4913
0,98	0,3365	1,39	0,4177	1,80	0,4641		2,40		0,4918
0,99	0,3389	1,40	0,4192	1,81	0,4649		2,42		0,4922
1,00	0,3413	1,41	0,4207	1,82	0,4056		2,44		0,4927
1,01	0,3438	1,42	0,4222	1,83	0,4664		2,46		0,4931
1,02	0,3401	1,43	0,4230	1,84	0,4671		2,48		0,4934
1,03	0,3485	1,44	0,4251	1,85	0,4678		2,50		0,4938
1,04	0,3508	1,45	0,4265	1,86	0,4686		2,52		0,4941
1,05	0.3531	1,46	0,4279	1,87	0.4693		2,54		0,4945
1,06	0,3554	1,47	0,4292	1,88	0,4699		2,50		0,4948
1,07	0,3577	1,48	0,4305	1,89	0,4706		2,58		0,4951
1,08	0,3599	1,49	0,4319	1,90	0,4713		2,60		0,4953
1,09	0,3621	1,50	0,4332	1,91	0,4719		2,62		0,4956
1,10	0,3643	1,51	0.4345	1,92	0,4726		2,64		0,4959
1,11	0,3665	1,52	0,4357	1,93	0,4732		2,66		0,4961
1,12	0.3686	1,53	0,4370	1,94	0,4738		2,68		0,4963
1,13	0,3708	1,54	0,4382	1,95	0,4744		2,70		0,4965
1,14	0,3729	1,55	0,4394	1,96	0,4750		2,72		0,4967
1,15	0,3749	1,50	0,4406	1,97	0,4750		2,74		0,4969
1,16	0,3770	1,57	0,4418	1,98	0,4761		2,76		0,4971
1,17	0,3790	1,58	0,4429	1,99	0,4767		2,78		0,4973
1,18	0,3810	1,59	0,4441	2,00	0,4772		2,80		0,4974
1,19	0,3830	1,60	0,4452	2,02	0,4783		2,82		0,4976
1,20	0,3849	1,61	0,4463	2,04	0,4793		2,84		0,4977
1,21	0,3869	1,62	0,4474	2,00	0,4803		2,86		0,4979
1,22	0.3883	1,03	0,4484	2,08	0,4812		2,88		0,4980
1,23	0,3907	1,64	0,4495	2,10	0,4821		2,90		0,4981
1,24	0,3925	1,65	0,4505	2,12	0,4830		2,92		0,4982
1,25	0,3944	1,66	0,4515	2,14	0,4838		2,94		0,4984
1,26	0,3962	1,67	0,4525	2,16	0,4846		2,96		0,4985
1,27	0,3980	1,68	0,4535	2,1	0,4854		2,98		0,4986
1,28	0,3997	1,69	0,4545	2,20	0,4801		3,00		0,49865
1,29	0,4015	1,70	0,4554	2,22	0,4868		3,20		0,49931
1,30	0,4032	1,71	0,4504	2,24	0,4875		3,40		0,49966
1,31	0,4049	1,72	0,4573	2,26	0,4881		3.60		0,499841
1,32	0,4066	1,73	0,4582	2,28	0,4887		3,80		0,499928
1,33	0,4082	1,74	0,4591	2,30	0,4893		4.00		0,499968
1,34	0,4099	1,75	0,4599	2,32	0,4898		4,50		0,499997
1,35	0,4115	1,76	0,4608	2,34	0,4904		5,00		0,499997
1,36	0,4131	1,77	0,4016

			36

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в папке матем

#
31.05.2015477.68 Кб42115-2012.pdf
#
31.05.20157.71 Mб30287-2008 (матем).doc
#
31.05.2015993.49 Кб43Matematika_4_sem.bakalavry.pdf
#
31.05.2015664.48 Кб221Teorija_verojatnostei_AMs._EH.pdf