всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

М(Х)= 3 0,1 5 0,6 2 0,3 =3,9.

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины, т.е. на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения, и поэтому его часто называют центром распре-

деления.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М (СХ) = СМ (X).

Замечание. Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М (XY) = М ( Х ) М (Y).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (X+Y) = М ( Х ) + М (Y).

Пример 32. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распределения

Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене машины в 150 тыс. ден. ед.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле:

П=(150X-120).

Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания:

М(П) = М(150X-120) = 150М(X) – 120 = 150 2,675-120 =281,25.

24

Определим математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р.

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

М ( Х ) = п р

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами п и р равно произведению

пр.

Пример 33. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание

М ( Х ) = пр = 10 0,6 = 6 (попаданий).

22.5. Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Пусть X — случайная величина и М(Х)—ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X - М(Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Приведем важное свойство отклонения.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М [X - М(Х)]=0.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют ма-

тематическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мате-

25

матического ожидания:

D(X)=M[Х-M(X)]2.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

Решение. Найдем математическое ожидание М (X):

М (X) = 2 0,1 3 0,6 5 0,3 3,5 .

Найдем математические ожидания М (X2):

М (X2) = 4 0,1 9 0,6 25 0,3 13,3.

Искомая дисперсия

D(X)=M(X2)-[M(X)]2=13,3-(3,5)2=1,05.

Пример 35. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 31.

Решение. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид

Математическое ожидание М (X2) подсчитывается из этой табли-

цы:

М (X2) = 0 0,25+1 0,2+4 0,1+9 0,1+16 0,1+25 0,1+ +36 0,05+49 0,05+64 0,025+81 0,025=13,475.

Математическое ожидание М (X)=2,675. Используя формулу (7), получаем искомую дисперсию

D(X)=M(X2)-[M(X)]2=13,475 – 7,156 = 6,319.

Рассмотрим свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(C)=0.

Это свойство объясняется тем, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния не имеет.

26

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(СX)=С2 D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсией этих величин:

D(X+Y)= D(X)+D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсией этих величин.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией:

D(X-Y)= D(X)+D(Y).

122.6. Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служит еще и другая характеристика, называемая средним квадратическим отклонением.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называ-

ют квадратный корень из дисперсии:

X D X .

Размерность X совпадает с размерностью Х, поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют средне квадратическое отклонение, а не дисперсию.

22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

F(x)=Р(Х<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Рассмотрим свойства функции распределения.

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку

[0,1]:

27

0 F x 1.

Свойство 2. F(x) – неубывающая функция, т.е.

F x2 F x1 , если x2 x1 .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a X b) F b F a .

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b),то 1) F(x)=0 при x a ; 2) F(x)=1 при

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

Непрерывную случайную величину можно задать,

используя кроме функции распределения F(x), функцию, называемую плот-

ностью распределения или плотностью вероятности.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной ве-

личины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

f(x)= F x .

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

b

P a X b f x dx .

a

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

28