херня / физика / EHlektrostatika._Postojannyi_tok._EHlektrodinamika._Magnetizm

Пример 2. На тонком стержне длиной l =20 находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a =10cм от ближайшего конца находится точечный заряд Q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

Решение

Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q1 зависит от линейной плотности заряда τ на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ.

При вычислении силы следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применять нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне малый участок dr с зарядом dQ=τdr (см рисунок).

Q1

l a

Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

dF Q1 dr . 4 0r2

Интегрируя это выражение в пределах от a до a+l , получаем

откуда

4 0a(a l)F . Q1l

Произведём вычисления:

31

Подставляя выражение Е1 из (1) и Е2 из (2) в (3), получим

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φ результирующего поля, равен алгебраической сумме потенциалов

1 2 . (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

Произведём вычисления:

33

Пример 4. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда σ1=0,4мкКл/м2 и σ2=0,1мкКл/м2. Определить напряжённость электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и следовательно, напряжённости суммарных полей Е(I) и Е(III) в первой и третьей областях равны между собой, противоположно направлены и равны сумме напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями:

E(I) E(III) E1 E2 или

34

E(I) E(III) ( 1 2) .

2 0

Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряжённость поля Е(II) равна разности напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: E(II) E1 E2 , или

E(II) ( 1 2) .

2 0

Подставив данные и произведя вычисления, получим

E(I) E(III) 28,3кВ/ м , E(II) 17кВ/ м.

Пример 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1=6 см и R2=10 см несут соответственно заряды Q1 = 1 нКл и Q2 = -0,5 нКл. Найти напряжённость Е поля в

r3

Рис.1

Решение

35

Точки, в которых требуется найти напряжённости электрического поля, лежат в трёх областях (см. рис.1): область I ( r1<R1), область II (R1< r2<R2), область III (r3>R2).

1. Для определения напряжённости Е1 в I области, проведём сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то получим

где En – нормальная составляющая напряжённости электрического поля.

Из соображения симметрии нормальная составляющая En должна быть равна самой напряжённости и постоянная для всех точек сферы, т.е. En =E1=const. Поэтому её можно вынести за знак интеграла:

E1 dS 0.

S1

Так как dS 0, то Е1=0, т.е. напряжённость электрического поля внутри первой сферы равна нулю.

2. В области II проведём сферическую поверхность радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q1, то для неё, согласно теореме Гаусса, можно записать равенство

EndS Q1 0 .

S2

Так как En =E2=const, то из условий симметрии следует

откуда

Е2 Q1 0S2 .

Подставив сюда выражение для площади сферы, получим

36

3. В области III проведём сферическую поверхность радиусом r3 . Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1+Q2. Cледовательно для неё теорема Гаусса имеет вид

ЕndS (Q1 Q2) 0 .

S3

Так как En =E3=const, то из условий симметрии следует

ность Е = 0. В области II (R1<r1<R2) напряжённость Е2(r) изменяется по закону 1/r2. В точке r=R1 напряжённость

Е2(R1) Q1(4 0 R12) 2500В/м.

В точке r=R2 (r стремится к R2 слева)

Е2(R2) Q1(4 0 R22) 900В/м.

В области III (r>R2) Е3(r) изменяется по закону 1/r2, причём в точке r=R2 (r стремится к R2 cправа)

Е3(R2) (Q1 Q2)(4 0 R22) 450В/м.

Таким образом, функция Е(r) в точках r=R1 и r=R2 терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис.2.

E,В/м

R1 R2 r

Рис.2 37

Пример 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью=10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпало с центром кривизны дуги, а ось Oy была бы симметрично расположена относительно концов дуги.

На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ= dl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:

где r –радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Выразим вектор dE через проекции dEx и dEy на оси координат:

38

dE idEx jdEy ,

где i и j – единичные векторы направлений (орты). Напряженность Е найдем интегрированием. Интегриро-

вание ведется вдоль дуги длиной l.

симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до /3, а результат удвоим:

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Оу.

Найдем потенциал электрического поля в точке О.Сначала найдем потенциал d , поля создаваемого точечным зарядом dQ в точке О:

d = dl /(4 0 r).

Заменим r на R и проведем интегрирование:

39

Пример 7. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью =10 нКл/м. Найти потенциал , созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его

ближайшего конца на расстояние l.

Решение

В задаче рассматривается поле, создаваемое распределенным зарядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dQ = dx, который можно считать точечным.

Потенциал d , создаваемый этим точечным зарядом в точке А, можно определить по формуле

d dQ τdx . 4π 0x 4π 0x

Потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке А, найдем интегрированием этого выражения:

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

= 62,4 В.

40