херня / физика / EHlektrostatika._Postojannyi_tok._EHlektrodinamika._Magnetizm

4.5. Энергия магнитного поля

Рассмотрим цепь, изображенную на рис.4.2. В положении 1 ключа К в катушке установится ток, который обусловит магнитное поле. Если перебросить ключ в положение 2, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в катушке ЭДС самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна

Данная работа совершается за счет убыли энергии магнитного поля, следовательно, энергия поля соленоида, через который течет ток I, равна

Выразим энергию магнитного поля через величины,

характеризующие само поле. Так как

Магнитное поле, а следовательно и его энергия, локализованы внутри соленоида. Отсюда для плотности энергии магнитного поля будем иметь

111

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно путём интегрирования найти энергию поля, заключённого в любом объёме

V

4.6. Примеры решения задач по законам электромагнитной индукции

Пример 1. В однородном магнитном поле (В = 0,2Тл) равномерно с частотой ν = 600 мин-1 вращается рамка, содержащая N = 1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.

Решение

Согласно закону электромагнитной индукции

dФ, dt

где Ф = NBScos α – полный магнитный поток, пронизывающий рамку.

ной индукции выражение магнитного потока и продифференцировав

112

по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

NBS d (cos2 t) NBS 2 sin2 t dt

Максимальное значение ЭДС определится при условии, что sin 2πνt =1. таким образом,

max 2 NBS .

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

Пример 2. Соленоид содержит N =1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 A магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию магнитного поля соленоида.

Решение

Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ = LI. Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N:

Ψ = NФ.

На основании этих формул индуктивность соленоида

L NФI .

Энергия магнитного поля соленоида

W LI2 NФI . 2 2

Подставим в формулы для L и W значения физических величин и произведем вычисления:

L 1,2 103 6 10 6 Гн 1,8Гн; 4

113

W1 1,2 103 6 10 6 4Дж 14,4мДж.. 2

Пример 3. Определить индукцию В и напряжённость Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N = 200 витков, идёт ток I =5 А. Внешний диаметр d1 тороида равен 30 см, внутренний d2 = 20 см.

Решение

Для определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектораН вдоль линий

магнитной индукции поля: Hdl .

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряжённости одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряжённость Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2πr, где r-радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т.е.

L0

Сдругой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2πrН = NI, откуда

114

Для средней линии тороида r = (R1+ R2)/2= (d1+ d2)/4. Подставив выражение в формулу (4), найдём

Магнитная индукция В0 в вакууме связана с напряжённостью поля соотношением В0=μ0Н. Следовательно,

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:

Н =1,37 кА/м, В0 =1,6 мТл.

Пример 4. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l0 = 5мм. Длина l средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I = 4А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл. Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Решение

Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем: IN = Hl + H0l0. По графику (см. приложение 5) находим что при B = 0,5 Тл, напряжённость Н магнитного поля в чугуне равна 1,6 кА/м. Так как для воздуха μ = 1, то напряжённость поля в воздушном зазоре H0 B 0 0,4 МА/м.

Искомое число витков N = (Hl+H0l0) / I = 900.

115

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Обобщив основные экспериментальные законы электричества и магнетизма, Максвелл создал единую теорию электромагнитного поля. В электродинамике теория Максвелла играет ту же роль, что и законы Ньютона в классической механике. Она позволила не только объяснить с единых позиций уже известные факты, но и предсказать существование электромагнитных волн.

Принципиально новой идеей, выдвинутой Максвеллом, была идея о взаимных превращениях электрических и магнитных полей. Обобщая закон Фарадея для электромагнитной индукции, Максвелл предположил, что изменяю-

щееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, циркуляция вектора напряженности которого определяется уравнением

В свою очередь, следует ожидать, что изменяющееся во времени электрическое поле, должно создавать переменное магнитное поле. Для установления количественной связи между изменяющимся электрическим и вызванным им магнитным полями, Максвелл ввел понятие тока смещения. Рассматривая конденсатор в цепи переменного тока, он предположил, что ток проводимости замыкается в конденсаторе током смещения. Ток смещения представляет собой изменяющееся электрическое поле и не сопровождается движением электрических зарядов, но он способен создавать магнитное поле, как и ток проводимости.

Плотность тока смещения равна

116

где D 0E вектор электрического смещения.

Сумму тока проводимости и тока смещения называют полным током, его плотность равна

Введение полного тока позволяет обобщить теорему о циркуляции напряженности магнитного поля, представив ее в виде

Из данного уравнения следует, что магнитное поле может возбуждаться не только движущимися зарядами, но и изменениями электрического поля, подобно тому, как электрическое поле может возбуждаться не только электрическими зарядами, но и изменениями магнитного поля.

К рассмотренным уравнениям (5.1 и 5.4) Максвелл добавил еще два уравнения, выражающие теорему Гауcса для

Полученная система четырех интегральных уравнений выражает в наиболее компактной форме все основные законы электромагнитного поля. Из этих уравнений, подчеркнем это еще раз, следует, что источником электрического поля являются как заряды, так и изменяющееся со временем магнитное поле. В свою очередь, магнитное поле возбуждается либо движущимися зарядами (ток проводимости), либо переменным электрическим полем (ток смещения).

117

118