херня / физика / EHlektrostatika._Postojannyi_tok._EHlektrodinamika._Magnetizm

3.6. Примеры решения задач по электромагнетизму

Пример 1. По контуру, изображённому на рисунке, идёт ток силой I = 10 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги R 10см, 60 .

Решение

По принципу суперпозиции полей

91

B BAB BBC BCA .

Магнитную индукцию, создаваемую дугой AB, найдём путём интегрирования:

Для нахождения магнитной индукции, создаваемой проводником BC, воспользуемся формулой

Магнитная индукция ВСА, создаваемая проводником СА в точке О, равна нулю, т. к. для любого элемента dl,r 0.

Поскольку вектор BAB направлен от наблюдателя, а вектор

BBC – к наблюдателю, то результирующая индукция равна

Пример 2. Рядом с длинным прямым проводом MN, по которому течёт ток силой I1, расположена квадратная рамка со стороной b, обтекаемая током силой I2. Рамка лежит в одной плоскости с проводником MN, так что её сторона, ближайшая к проводу, находится от него на расстоянии a. Определить магнитную силу, действующую на рамку, а также работу этой силы при удалении рамки из магнитного поля.

Решение

Рамка с током находится в неоднородном магнитном поле, создаваемым бесконечно длинным проводником MN:

B 0 I1 . 2 x

92

Каждая сторона рамки будет испытывать действие сил Ампера, направление которых показано на рисунке. Так как стороны АВ и D C расположены одинаково относительно провода MN, действующие на них силы F3 и F4 численно

равны и равнодействующая всех сил, приложенных к рамке, равна F=F1–F2 ,

A I2(Ф Ф0) I2Ф0 .

Для нахождения магнитного потока через рамку в неоднородном магнитном поле разделим её на узкие полосы шириной dx, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной. Элементарный магнитный поток через полоску, находящуюся на расстоянии x от прямого тока, равен

Пример 3. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B = 50 мТл). По проводу течёт ток I = 10 А. Найти силу F, действующую на провод если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Решение

Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции и выделим на нём малый элемент dl с током. На этот элемент тока Idl будет действовать по

закону Ампера сила dF I dl ,B . Направление этой силы

можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рисунке. Силу dF представим в виде

dF idFx jdFy ,

где i и j – единичные векторы (орты); dFx и dFy – проекции вектора dFна координатные оси Ox и Oy.

Силу F, действующую на весь провод, найдём интегрированием:

F dF i dFx j dFy ,

L L L

94

где символ L указывает на то, что интегрирование ведётся по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый

Из рисунка следует, что dFy = dFcosα, где dF – модуль вектора dF (dF IBdlsin(dlB)). Так как вектор dl перпендикулярен

вектору B (sin(dlB) 1), то dF IBdl . Выразив длину дуги dl

через радиус R и угол α, получим

dF IBRd .

Тогда

dFy IBRcos d .

Введём dFy под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пределах от –π/2 до +π/2 (как это следует из рисунка):

F F 2IBR.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт

единицу силы (Н):

[I][B][R]=1А·1Тл·1м = 1А·1Н·1м·1м/(1А·(1м)2)=1Н. Произведём вычисления: F = 2·10·50·10-3·0,1Н = 0,1Н.

Пример 4. В центре длинного соленоида, имеющего n=5 103 витков на метр, помещена рамка, состоящая из N=50 витков провода площадью S = 4 см2. Рамка может вращаться вокруг оси ОО, перпендикулярной оси соленоида. При

95

Отсюда находим скорость электрона eBR и период его m

обращения Т 2 R 2 m.

eB

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току

Зная Iэкв , найдем магнитный момент эквивалентного тока, который выражается соотношением

Pм Iэкв S ,

где S=πR2 – площадь, ограниченная окружностью,

Произведем вычисление:

97

Пример 6. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 10мТл по винтовой линии, радиус которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т

в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению, обеспечивая движение по окружности. Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении его со скоростью и вращательном со скоростью .

Согласно второму закону Ньютона

e B m 2 . R

Перпендикулярная составляющая скорости будет равна

eBR

m .

Период обращения электрона связан именно с этой составляющей скоростью соотношением

T2 R 2 m.

eB

98

Проверим размерность полученного выражения и произведем вычисление:

Модуль скорости υ, как видно из рисунка, можно выразить через и || :

Параллельную составляющую скорости || найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой лини расстояние h, т.е. h T || , откуда

Пример 7. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт ток I = 50А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l = 65см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение

99

также зависеть от х, то

dФ=В(х)dS.

Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (см. рис.). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние x) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

d 0I ldx. 2 x

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x1= a до x2 = 2a, найдём

100