А.Г. Москаленко М.Н. Гаршина И.А. Сафонов
А.В. Бугаков Т.Л. Тураева
Краткий курс физики для студентов заочной формы обучения
Часть 3
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ОПТИКА.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА.
ФИЗИКА ЯДРА
1
ВВЕДЕНИЕ
Третья часть курса общей физики включает разделы: колебания и волны, волновая и квантовая оптика, квантовая механика, физика атома и ядра.
Теоретический материал излагается в соответствии с типовой программой по курсу общей физики. Главное внимание при этом обращается на физическую сущность основных понятий и законов. Наряду с теоретическими основами в пособии рассматриваются практические приёмы решения типовых задач.
Выписка из типовой программы дисциплины Физика за 2011 год
(третья часть)
1. Колебания и волны. Оптика. Гармонические колебания.
Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебания. Энергия колебаний. Примеры колебательных движений различной физической природы. Свободные затухающие колебания осциллятора с потерями. Вынужденные колебания. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Анализ и синтез колебаний, понятие о спектре колебаний. Связанные колебания.
Волны.
Волновое движение. Плоская гармоническая волны. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Уравнение волны. Одномерное волновое уравнение. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах. Элементы акустики. Эффект Доплера. Поляризация волн.
Интерференция волн.
Интерференционное поле от двух точечных источников. Опыт Юнга. Интерферометр Майкельсона. Интерференция в тонких пленках. Стоячие волны.
Дифракция волн.
2
Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля на простейших преградах. Дифракция Фраунгофера. Дифракционная решетка как спектральный прибор. Понятие о голографическом методе получения и восстановления изображений.
Поляризация волн.
Форма и степень поляризации монохроматических волн. Получение и анализ линейно-поляризованного света. Линейное двулучепреломление. Прохождение света через линейные фазовые пластинки. Искусственная оптическая анизотропия. Фотоупругость. Электрооптические и магнитооптические эффекты.
Поглощение и дисперсия волн. Нелинейные процессы в оптике.
2. Квантовая физика. Квантовые свойства электромагнитного излучения.
Тепловое излучение и люминесценция. Спектральные характеристики теплового излучения. Законы Кирхгофа, СтефанаБольцмана и закон смещения Вина. Абсолютно черное тело. Формула Релея-Джинса и «ультрафиолетовая катастрофа». Гипотеза квантов. Формула Планка. Квантовое объяснение законов теплового излучения. Корпускулярно-волновой дуализм света.
Планетарная модель атома.
Модель атома Томсона. Опыты Резерфорда по рассеянию альфачастиц. Ядерная модель атома. Эмпирические закономерности в атомных спектрах. Формула Бальмера.
Элементы квантовой механики.
Гипотеза де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера. Дифракция микрочастиц. Принцип неопределенности Гейзенберга. Волновая функция, ее статистический смысл и условия, которым она должна удовлетворять. Уравнение Шредингера. Квантовая частица в одномерной потенциальной яме. Одномерный потенциальный порог и барьер.
Квантово-механическое описание атомов.
Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода. Волновые функции и квантовые числа. Правила отбора для квантовых переходов. Опыт Штерна и Герлаха. Эффект Зеемана.
Оптические квантовые генераторы.
Спонтанное и индуцированное излучение. Инверсное заселение уровней активной среды. Основные компоненты лазера. Условие
3
усиления и генерации света. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров и их применение.
3. Ядерная физика Основы физики атомного ядра.
Состав атомного ядра. Характеристики ядра: заряд, масса, энергия связи нуклонов. Радиоактивность. Виды и законы радиоактивного излучения. Ядерные реакции. Деление ядер. Синтез ядер. Детектирование ядерных излучений. Понятие о дозиметрии и защите.
Элементарные частицы.
Фундаментальные взаимодействия и основные классы элементарных частиц. Частицы и античастицы. Лептоны и адроны. Кварки. Электрослабое взаимодействие.
Физическая картина мира.
Особенности классической и неклассической физики. Методология современных научно-исследовательских программ в области физики. Основные достижения и проблемы субъядерной физики. Попытки объединения фундаментальных взаимодействий и создания «теории всего». Современные космологические представления. Достижения наблюдательной астрономии. Теоретические космологические модели. Антропный принцип. Революционные изменения в технике и технологиях как следствие научных достижений в области физики. Физическая картина мира как философская категория. Парадигма Ньютона и эволюционная
парадигма.
1.КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1.1.Механические колебания и волны
1.1.1.Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Колебаниями называют процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени. Простейшими из них являются
4
гармонические колебания, при которых колеблющиеся величины изменяются со временем по закону синуса или косинуса.
Кинематическое уравнение гармонических колебаний
имеет вид
|
х(t) A cos( 0t ) , |
(1.1) |
где |
х - смещение системы от своего положения равновесия; |
|
A - |
амплитуда колебаний; 0t |
- фаза колебаний; |
-начальная фаза ; 0 -собственная циклическая частота.
График гармонических колебаний представлен на рис. 1.1. Продифференцировав дважды уравнение (1.1) по времени
найдём скорость и ускорение колеблющейся точки |
|
х A 0 sin( 0t ) , |
(1.2) |
а х A 02 cos( 0t ) x 02 . |
(1.3) |
Рис. 1.1
Из (1.3), следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний
х 02 х 0 . |
(1.4) |
Решением этого уравнения является выражение (1.1).
1.1.2.Энергия гармонического колебания
Сучётом уравнения (1.3), сила действующая на материальную массой m, равна
5
F m 02x kx , |
(1.5) |
где m 02 k - коэффициент упругости.
Упругая сила является консервативной, поэтому полная энергия механических колебаний остаётся постоянной:
Е = T+П= const.
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, с учётом уравнения 1.2, равна
T |
m 2 |
|
mA2 02 |
sin2( t ), |
(1.6) |
|
|
||||
2 |
2 |
0 |
|
||
|
|
||||
или T mA2 02 1 cos2( 0t ) . (1.7) 4
Потенциальная энергия
материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, с учётом уравнения 1.5, равна
x |
2 |
2 |
|
П Fdx |
m 0 x |
|
|
2 |
|
||
0 |
(1.8) |
||
|
|
||
m 02 A2 cos2( 0t ), 2
или
П mA2 02 1 cos2( 0t ) . (1.9) 4
Частота изменения кинетической и потенциальной энергий в два раза превышает частоту гармонических колебаний (см. рис.1.2).
6
x
+A
T
E
1 E
2
П
E
1 E
2
0
Рис.1.2
t
t
t
Полная механическая энергия колеблющейся системы с учетом уравнений (1.7) и (1.9) равна
ET П mA2 02 
2.
1.1.3.Математический и физический маятники
Идеализированные системы, в которых колебания возникают за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий и описываются уравнением (1.4), называются гармоническими осцилляторами. Примерами гармонических осцилляторов являются пружинный, физический и математический маятники. Колебания, возникающие в таких системах при отсутствии сил трения, называются собственными гармоническими колебаниями.
Математическим маятником называют идеализи-
рованную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (рис.1.3).
|
|
|
M |
|
|
|
lпр |
d |
o |
|
lс |
|
|
||
dt |
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
l |
c |
|
|
•· P2 О' |
|
|
|
|
α |
|
|
|
mg |
Рис.1.3 |
Рис.1.4 |
7
При отклонении от положения равновесия на некоторый угол математический маятник начинает совершать свобод-
ные колебания. В случае малых колебаний sin , дифференциальное уравнение колебаний математического маятника имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
02 0 , |
(1.10) |
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
0 |
|
g |
; |
l – длина математического |
маятника; g– |
||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
ускорение свободного падения. |
|
||||||||
|
Общее решение этого дифференциального уравнения |
||||||||
имеет вид |
|
|
A cos 0t , |
|
|||||
|
A |
|
|
|
(1.11) |
||||
где |
и |
– |
постоянные, определяемые |
начальными |
|||||
условиями возбуждения колебаний. |
|
||||||||
|
Таким образом, при малых колебаниях математический |
||||||||
маятник колеблется по гармоническому закону. Период колебаний математического маятника равен
T 2 l g . |
(1.12) |
Видно, что период T зависит только от длины маятника l, ускорения силы тяжести g и не зависит от его массы.
Физический маятник – любое тело, подвешенное в точке, лежащей вне его центра тяжести (рис 1.4).
Докажем, что маятник, отклоненный на малый уголот положения равновесия, будет совершать гармонические колебания. Обозначим через I момент инерции маятника относительно оси О, перпендикулярной плоскости чертежа (рис.1.4). Пусть точка С является центром тяжести. Силу тяжести P = mg можно разложить на две составляющие, одна из которых P2 уравновешивается реакцией опоры.
Под действием другой составляющей |
|
P1 = P sin = mg sin α |
(1.13) |
8 |
|
маятник приходит в движение. Из основного закона динамики вращательного движения имеем
|
I = - m g lc sin , |
(1.14) |
|||
где |
|
d 2 |
, |
(1.15) |
|
dt2 |
|||||
|
|||||
угловое ускорение, |
lc = СО – расстояние от точки подвеса до |
||||
центра тяжести. |
|
|
|
|
|
Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению отклонения маятника, т.е. стремится вернуть его в положение равновесия. При малых отклонениях можно
считать, что sin , поэтому |
|
|
|||
|
Р1 m g . |
|
(1.16) |
||
Подставив (1.15) и (1.16) в (1.14), получим |
|
||||
I |
d 2 |
mgl |
0 . |
(1.17) |
|
dt2 |
|||||
|
c |
|
|
||
Полученное дифференциальное уравнение является уравнением гармонического колебательного движения. Частота и период колебаний определяются из формул
|
mglc |
, |
|
|
|
, |
T |
2 |
2 |
I |
. |
(1.18) |
||
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
mglc |
|
||||||
Величина |
L |
I |
|
называется |
приведённой |
длиной |
||||||||
mlc |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
физического маятника, она численно равна длине математического маятника с периодом колебаний, равным периоду колебаний данного физического маятника.
Таким образом, период и частота колебаний физического маятника определяются выражениями
T 2 |
L |
; |
|
g |
. |
(1.19) |
|
|
|||||
|
g |
|
L |
|
||
|
|
|
9 |
|
|
|
1.1.4. Сложение гармонических колебаний одного направления. Биения
Результирующее движение точки, одновременно участвующей в нескольких колебаниях, во многих случаях является колебательным. Таким образом, можно говорить о сложении нескольких колебаний в одно результирующее.
Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами и различными фазами осуществляется с помощью вектора амплитуды, позволяющего свести сложение колебаний к сложению векторов. Вектор амплитуды представляет собой вектор, величина которого равна амплитуде гармонического колебания, а угол между его направлением и осью X определяется начальной фазой (рис.1.5). Если привести вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью , то его проекция на ось X будет изменяться со временем по гармоническому закону. Следовательно, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора амплитуды.
ω0
А1
Рис.1.5 Рис.1.6
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, описываемых уравнениями:
X1 A1 cos( 0t 1) , |
(1.20) |
X2 A2 cos( 0t 2) . |
(1.21) |
10 |
|