6.3.3. Работа шим - преобразователя на l-c фильтр

В целях сглаживания преобразованного напряжения во всех случаях применяется фильтр, состоящий из емкости и дросселя. Тогда все процессы, происходящие в преобразователе можно рассматривать независимо от характера нагрузки [111]. Во всех случаях стабилизация выходного напряжения будет эквивалентна по действию стабилизации заданного параметра. Регулирование тока производится по напряжению на выходе преобразователя. Из сказанного следует, что рассмотрение режима работы преобразователя можно производить без учета нагрузки.

Представим импульсную систему регулирования в виде последовательного соединения импульсного элемента, формирующего элемента с прямоугольной формой импульса и непрерывной части, соответствующей сглаживающему фильтру (рис. 6.10). Для вычисления переходного процесса можно воспользоваться уравнением разомкнутой амплитудно-импульсной системы относительно изображений в смысле дискретного преобразования Лапласа [60]

, (6.28)

где - дискретное преобразование Лапласа выходной смещенной функции;

- передаточная функция разомкнутой амплитудно-импульсной системы;

- дискретное преобразование Лапласа входной решетчатой функции.

Рис. 6.10. Представление импульсной системы регулирования

По [60] равна- преобразованию передаточной функции эквивалентной непрерывной части.

. (6.29)

В свою очередь передаточная функция приведенной непрерывной части равна произведению передаточной функции формирующего элементаи непрерывной части

. (6.30)

равна изображению в смысле обычного преобразования Лапласа, вырабатываемого формирующим элементом. Для прямоугольного импульсаравна

. (6.31)

При питании преобразователя от источника с малым внутренним сопротивлением можно считать, что параметры непрерывной части остаются постоянными. Передаточная функция фильтра для реального масштаба времени (рис. 6.11) равна [17]

, (6.32)

где ;;;;

или для безразмерного времени

, (6.33)

где .

Рис. 6.11. Исходная схема к определению передаточной

функции фильтра для реального масштаба времени

Для получения установившегося значения напряжения на входе преобразователя в области оригиналов необходимо в области изображений комплексную переменную принять равной нулю.

Тогда выражение (6.30) при будет равно

.

Из (6.31) при будет

, (6.34)

где

. (6.35)

Из (6.33) при , следует

, (6.36)

где

. (6.37)

Подставим в (6.29). Для этого прежде вычислим слагаемое суммы, соответствующее, то есть постоянную составляющую выходного напряжения. Привыражение (6.29) превращается в неопределенность вида. Раскрывая ее, получим

. (6.38)

Из (6.36) при , получим

. (6.39)

Согласно (6.30)

.

Подставим значение в (6.29) и учитывая (6.34), (6.36), (6.37), (6.39), получим

(6.40)

Выражение (6.40) может быть записано в вещественной форме, воспользовавшись формулой Эйлера

. (6.41)

Определим реакцию системы на постоянное входное воздействие . Дискретное преобразование Лапласа постоянной величины равно

; (6.42)

. (6.43)

При

По теореме о конечном значении решетчатой функции

Найдем установившуюся реакцию системы, подставив в (6.28)из(6.41)из(6.43)

. (6.44)

Получено разложение в ряд Фурье выходного напряжения преобразователя. Гладкая составляющая, равная среднему значению напряжения, определяется первым слагаемым в (6.44)

. (6.45)

Приняв и, уравнение (6.45) преобразуется к следующему виду

. (6.46)

Уравнение (6.45) является уравнением внешней характеристики преобразователя. Жесткость внешней характеристики преобразователя без обратной связи равна

,

где и- базовые величины тока и напряжения.

Рис. 6.12. Семейство внешних характеристик

опытного образца

На рис..6.12 приведено семейство внешних характеристик опытного образца преобразователя при различных значениях , снятых без обратной связи. На рисунке штриховой линией отмечена граница существования режима непрерывного тока, для которого справедливо уравнение (6.45). Для увеличения жесткости внешних характеристик в преобразователе применяется обратная связь по напряжению (независимо от назначения преобразователя).

Для замкнутой системы жесткость определяется по выражению из [83]

, (6.47)

где - коэффициент усиления разомкнутой системы.

На рис. 6.13 приведено семейство внешних характеристик, снятых в замкнутой системе при различных значениях выходного напряжения при постоянном входном напряжении. Из сопоставления рисунков видно, что обратная связь увеличивает жесткость характеристик.

Рис. 6.13. Семейство внешних характеристик

в замкнутой системе регулирования

Следует отметить, что формула (6.46) справедлива лишь для режима непрерывного тока дросселя.

Для упрощения дальнейших выкладок и для придания полученным результатам универсальности применим метод относительных единиц. В качестве базовой величины для напряжения примем напряжение первичного источника , для тока – ток короткого замыкания

.

Выражение (6.46) в относительных единицах запишется следующим образом

. (6.48)

Из выражения (6.48) может быть получено уравнение импульсной внешней характеристики преобразователя:

. (6.49)

Применение относительных единиц придает выражению (6.44) универсальный характер, позволяя характеризовать все возможные типоразмеры преобразователей с помощью одного семейства универсальных внешних характеристик, получающихся из (6.49) при различных значениях параметра (рис. 6.14).

Рис. 6.14. Семейство внешних характеристикв относительных единицах

Как следует из выражения (6.49) регулирование выходного напряжения возможно в широком интервале за счет изменения относительной ширины импульсов . Нижний предел определяется параметрами узла коммутации. При этом жесткость внешних характеристик в области непрерывного тока остается неизменной во всем диапазоне регулирования и равной жесткости естественной характеристики, получающейся при.

Для перехода от универсальных характеристик к определенному частному случаю следует ординаты характеристик рис. 6.14 умножить на , а абсциссы – на.

Как указывалось выше, выходное напряжение преобразователя кроме полезной, гладкой составляющей, содержит пульсирующую составляющую. Ее величина зависит как от параметров фильтра, так и от режима работы импульсного элемента. Точные выражения для переменных составляющих выходного напряжения и тока дросселя довольно громоздки и неудобны для анализа. Более простые результаты можно получить приближенным методом, основываясь на том факте, что амплитуда пульсаций по сравнению с гладкой составляющей напряжения пренебрежимо мала и ее влиянием на величину и форму тока в дросселе можно пренебречь. На этом же основании можно пренебречь переменной составляющей тока в цепи нагрузки и считать, что переменная составляющая тока дросселя замыкается только через емкость фильтра. Принимая такое допущение, мы приходим к случаю работы импульсного элемента на индуктивно-активную нагрузку и противо-ЭДС, равную гладкой составляющей выходного напряжения. С учетом сделанных допущений уравнения электрического равновесия для установившегося режима (по гладкой составляющей) имеют вид

; (6.50)

, (6.51)

где ,- переменные составляющие тока дросселя и входного напряжения

- модулирующая функция.

Переходя к безразмерным величинам тока, напряжения и времени, получим

; (6.52)

, (6.53)

где ;;.

Частное решение уравнения (6.52), описывающее установившийся процесс в системе, имеет следующий вид

; (6.54)

. (6.55)

В выражениях 6.54), (6.55) - локальное относительное время, отсчитываемое внутри каждого периода коммутации от его начала.

Размах пульсации выходного напряжения преобразователя может быть найден на основании (6.53) путем интегрирования выражений (6.54), (6.55) внутри интервала, заключенного между двумя соседними точками отрицательного и положительного экстремумов функции . Абсциссы этих точек можно найти, приравняв нулю выражения (6.54) (6.55) и разрешив их относительно. В результате получим

. (6.56)

. (6.57)

Интегрируя (6.51) в пределах от до, найдем размах пульсации напряжения

. (6.58)

Полученное выражение содержит трансцендентные функции, которые затрудняют практическое использование формулы (6.58). Более простой результат можно получить, если в уравнении (6.48) пренебречь падением напряжения в активном сопротивлении дросселя.

При этом погрешность оценим с помощью формулы (6.58). Выражение для тока в этом случае принимает следующий вид:

. (6.59)

. (6.60)

Пределы интегрирования уравнения (6.53) теперь равны

.

В результате интегрирования (6.53) получим приближенное выражение для размаха пульсации выходного напряжения преобразователя

. (6.61)

Погрешность формулы (6.61) относительно выражения (6.58) при не превосходит 2 %.

Подставляя в (6.61) значения и, получим зависимость пульсации от частоты квантования импульсного элемента

. (6.62)

Анализ выражений (6.61) и (6.62) позволяет сделать следующие выводы:

1. Амплитуда пульсации выходного напряжения обратно пропорциональна квадрату частоты квантования импульсного элемента.

2. своего наибольшего знчения пульсация достигает при

3. Амплитуда пульсации обратно пропорциональна произведению .

Граница режимов прерывистого и непрерывного токов может быть получена с помощью выражений (6.59) (6.60) и определяется уравнением

. (6.63)

Из (6.63) следует, что своего наибольшего значения граничный ток достигает при

Приближенное выражение для внешней характеристики в области прерывистого тока будет

. (6.64)

Жесткость характеристик определяется выражением

. (6.65)

Анализ (6.64), (6.65) показывает, что при переходе в область прерывистого тока жесткость характеристик значительно уменьшается. Внутри области жесткость максимальна на границе

и минимальна в точке идеального холостого хода

.

Плохие регулировочные свойства преобразователя в области прерывистого тока указывают на целесообразность работы в области непрерывного тока. Чтобы рабочая точка не выходила за ее пределы при уменьшении тока нагрузки, необходимо выбирать параметр по условию

. (6.66)

Если минимальный ток нагрузки настолько мал, что выполнить условие (2.64) затруднительно или нецелесообразно, к выходу преобразователя можно подключить балластное сопротивление, удовлетворяющее условию

, (6.67)

где - нижний предел регулирования.

Размах пульсаций выходного напряжения в области прерывистых токов приближенно определяется выражением

. (6.68)

Своего наибольшего значения достигает на границе режимов

(6.69)

и обращается в нуль в точке идеального холостого хода.

Сравнение (6.58), (6.68), (6.69) показывает, что размах пульсаций внутри прерывистых токов меньше, чем в области непрерывного тока.