6. 9. Разложение функций в степенные ряды

Для любой функции , определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

,

где , , - остаточный член в форме Лагранжа.

Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки , а остаточный член стремится к нулю при , т.е. , то из формулы Тейлора получается разложение функции по степеням , называемое рядом Тейлора:

.

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в ряд Маклорена:

.

Ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки , но этот ряд может не сходиться к порождающей функции .

Теорема 1. Для того чтобы ряд Тейлора функции сходился к в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т. е. чтобы .

Доказательство. Пусть ряд Тейлора сходится к функции в некоторой окрестности точки , т. е. . Воспользовавшись совпадением -частичной суммы ряда с многочленом Тейлора , находим:

.

ратно, пусть . Тогда

.

Теорема 2. Для того, чтобы , достаточно, чтобы в некоторой окрестности, содержащей точку , абсолютные величины производных были ограничены одним и тем же числом.

Доказательство.

Значит, ряд Тейлора сходится к .

6.10. Разложение основных элементарных функций в ряды Тейлора

Для того, чтобы разложить функцию в ряд Тейлора при x=0 нужно:

1. Найти значение функции и всех её производных до n-го порядка включительно;

2. Доказать, что

3. Найти радиус сходимости ряда R.

1. Разложим функцию в ряд. Найдем производные функции, а также их значения в точке :

Воспользовавшись формулой Маклорена, имеем:

~.

Исследуем остаточный член этого ряда.

Для функции получим

Очевидно, что величина зависит как от степени n, так и от значений переменной x.

При неограниченном возрастании n и при любом значении x величина является бесконечно малой. Поэтому при любом значении x и остаточный член в разложении функции неограниченно убывает, стремясь к 0:

Из этого следует, что при любом значении x можно заменить функцию её многочленом.

Найдём радиус сходимости ряда.

2. Разложим функцию ряд Маклорена. Имеем:

, ,

, …, .

Вычислим производные функции при :

Воспользовавшись формулой Маклорена, имеем:

=.

Вычисление радиуса сходимости показывают, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех .

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,