Лекция №-14

6.7. Степенные ряды. Теорема Абеля.

Самыми простыми и широко используемыми среди функциональных рядов являются степенные ряды

,

где действительные числа называются коэффициентами ряда .

Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням , т. е. ряд вида

,

где - некоторое постоянное число. Однако он с помощью замены легко приводится к виду .

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда .

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству . Если же степенной ряд расходится при , то он будет расходиться и при всех , удовлетворяющих неравенству .

Доказательство. Так как по условию ряд сходится, то по необходимому признаку сходимости . Поэтому величина ограничена, т. е. найдется такое число , что для всех выполняется неравенство , Для всех , удовлетворяющих неравенству , величина и, следовательно,

, ,

т. е. модуль каждого члена ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд абсолютно сходящийся.

Если ряд расходится при , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству .

Это легко показать методом доказательства от противного. Если допустить сходимость ряда в точке , для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех , удовлетворяющих неравенству , и, в частности, в точке , что невозможно.

Следствие. Для любого степенного ряда существует такой , что при ряд сходится , а при расходится

Доказательство. Построим последовательностьследующим образом

В качестве выберем точку . Если в ряд сходится, то .

Если расходится то .Если в ряд сходится, то и т.д.

Т.о. мы получим последовательность , которая монотонно возрастает и ограничена, следовательно , .

Итак, основным следствием из теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости , или с центром в точке , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках ) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие- либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи расходятся на обоих концах.

Число - половина длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда может быть равен нулю или бесконечности. Если , то степенной ряд сходится лишь при ; если же , то ряд сходится на всей числовой оси.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1. Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности , то , при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.

2. Если исходный ряд имеет вид

,

(где - некоторое определенное целое положительное число: 2,3,…),то .

3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности любая (т.е. не образует арифметическую прогрессию как в предыдущем случае), то радиус сходимости можно находить по формуле в которой используются только значения , отличные от нуля.

4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда

.

Решение. Здесь . Найдем радиус сходимости ряда: Следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравенству

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. При , получаем гармонический ряд , который, как известно, расходится. При получаем ряд . Этот ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница. Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством .

Пример 2. Исследовать сходимость степенного ряда

.

Решение. Здесь . Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится, если , т.е.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. При , получаем ряд , который сходится, так как ряд сходится при . При получаем ряд . Этот ряд сходится (и притом абсолютно) так как сходится ряд из абсолютных величин его членов. Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством .

Пример 3. Исследовать сходимость степенного ряда

.

Решение. Здесь . Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится при любом значении .

Пример 4. Исследовать сходимость степенного ряда

.

Решение. Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем . Он сходится, если , и расходится, если .Следовательно, промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством

Пример 5. Исследовать сходимость степенного ряда

Решение. Применим признак Даламбера, учитывая, что

получим

. Отсюда, при выполнении неравенства по признаку Даламбера ряд сходится. Преобразуем последнее неравенство . Итак, при ряд сходится абсолютно, а при - расходится. Следовательно, - интервал сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала, т.е. в точках и .

При получим ряд

Применяя второй признак сравнения, сравниваем этот ряд с гармоническим рядом :

Поскольку ряд расходится, а полученный предел не равен нулю, то ряд расходится.

При получим ряд

Этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится.

Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, используя признак Лейбница.

1) Очевидно, неравенство выполнено для всех .

2)

Для знакочередующегося ряда выполнены оба условия признака Лейбница, значит, данный ряд сходится. Так как он не является абсолютно сходящимся, то ряд сходится условно. Окончательно получим, область сходимости исходного ряда – промежуток

6.8.Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенного ряда.

Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Таким образом, если , то

,

где .

Операции почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.

Пример. Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд

Решение. Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии , получаем Остается продифференцировать полученное равенство:

Найти области сходимости степенных рядов:

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.