Матан 3 семестр. / Лекция№64

Лекция №64

8.5. Элементарные функции комплексного переменного

Показательная, тригонометрические и гиперболическиефунции комплексного переменного.

Рассмотрим степенной ряд

.

Если z = x - действительное число, то этот ряд сходится на всей числовой оси и определяет функцию e^x. . В силу теоремы Абеля, рассматриваемый ряд сходится на всей комплексной плоскости и определяет некоторую функцию комплексного переменного. Эта функция обозначается e^z . Таким образом, по определению

e^z = . (1.18)

Связь между функциями e^z и e^x такая же, как, например, между функциями z² и x²: функция e^z имеет более широкую область определения и совпадает с функцией e^x при z=x. Говорят также, что функция e^z является продолжением функции e^x на комплексную плоскость, а функция e^x - сужением функции e^z на действительную ось.

Точно также определяются функции комплексного переменного cosz, sinz, сhz, shz как суммы соответствующих степенных рядов:

, (1.19)

, (1.20)

, (1.21)

. (1.22)

Из этих определений видно, что функции cosz и chz - четные, а sinz и shz - нечетные функции переменного z.

Если в равенстве (1.18) z заменить на iz, то, учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов, получим

=

,

или

. (1.23)

Если в этой формуле z заменить на -z, то получим, что

. (1.24)

Из равенств (1.23) и (1.24) находим, что

, (1.25)

(1.26)

Равенства (1.23) - (1.26) называются формулами Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией в комплексной области. Как известно, в действительной области эти функции не связаны между собой.

Точно так же устанавливается связь между гиперболическими функциями и показательной функцией:

, (1.27)

, (1.28)

, (1.29)

. (1.30)

Формулы (1.25), (1.26) и (1.29), (1.30) позволяют установить связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

chiz = cosz, shiz = isinz,

(1.31)

cosiz = chz, siniz = ishz.

Рассмотрим равенство . С помощью рядов это равенство означает, что

=

Так как перемножение рядов с комплексными членами проводится по тем же правилам, что и рядов с действительными членами, то

. = .

Следовательно, формула

(1.32)

справедлива для любых комплексных чисел z₁ и z₂. В частности,

.

Отсюда следует, что функция e^z периодична с периодом 2i. Из формулы (1.32) следует также, что функция e^z не обращается в 0 ни при каком комплексном z. В самом деле,

e^z=e^x+iy=e^x(cosy+isiny)=e^x = e^x  0.

С помощью формул Эйлера также доказываются соот-ношения

cos(z₁+z₂) = cosz₁ cosz₂ - sinz₁ sinz₂,

sin(z₁+z₂) = sinz₁ cosz₂ + sinz₂ cosz₁,

ch(z₁+z₂) = chz₁ chz₂ + shz₁ shz₂,

sh(z₁+z₂) = shz₁ chz₂ + shz₁ chz₂.

С помощью этих формул получаем

cos2z = cos²z - sin²z , sin2z = 2sinz cosz,

ch2z = ch²z + sh²z , sh2z = 2shz chz,

cos²z + sin²z = 1, ch²z - sh²z = 1.

Основные соотношения для тригонометрических и гиперболических функций действительного переменного сохра-няются для соответствующих функций комплексного переменного. Однако неравенства

cosx  1, sinx  1

для функций cosz и sinz не сохраняются. Функции cosz и sinz могут принимать значения, сколь угодно большие по модулю. Например, при z = in имеем

cosin = (e^-n + eⁿ)/2 > eⁿ/2.

8.7. Логарифмическая функция комплексного переменного. Показательная функция с любым комплексным снованием.

Комплексное число w называется логарифмом комплексного числа z, если e^w = z. В этом случае пишут w = Lnz. Так как e^w  0, то число z=0 не входит в область определения функции Lnz.

Если w = u+iv, z = r(cos+isin), где r>0, то равенство

e^w = z принимает вид

e^u+iv = r(cos+isin), или e^ue^iv = r(cos+isin).

Отсюда следует, что

e^u = r, e^iv = cosv+isinv= cos+isin. (1.33)

Из первого равенства находим, что u=lnr=lnz, где lnr означает логарифм натуральный для положительных чисел. Из второго равенства (1.33) следует, что v = +2k = Argz. Таким образом,

Lnz = lnz+iArgz = lnz+iargz+2ki, (1.34)

где k - любое целое число. Для любого числа z0, Lnz принимает бесконечно много значений.

То значение Lnz, которое соответствует главному значению аргумента числа z, называется главным и обозначается через lnz. Следовательно,

lnz = lnz+iargz, Lnz = lnz+2ki. (1.35)

Пример: Найти Ln(-1).

Так как -1 = 1, arg(-1) = , то ln(-1) = ln1+i = i,

Ln(-1) = i+2ki = (2k+1)i.

Переходим к определению показательной функции с любым комплексным основанием c  0. Если c>0

и x – действительные числа, то справедливо равенство

c^x = e^xlnc.

Это равенство принимается за определение показательной функции от комплексного переменного z с любым комплексным основанием c0. Таким образом, по определению, для любых комплексных чисел c0 и z полагаем

c^z = e^zLnc. (1.36)

Так как функция Lnz принимает бесконечно много значений, то и функция c^z, определяемая равенством (1.36), многозначна. Его главным значением считается то, которое получается, если в правой части равенства (1.36) вместо Lnс использовать lnс. Только при целых действительных z формула (1.36) определяет единственное значение c^z.

Пример: Найти iⁱ.

Так как i = 1, argi = /2, то Lni = 2ki+i/2 = =(4k+1)i/2, то

iⁱ = e^iLni = e^-(4k+1)/2,

где k - любое целое число. Главное значение iⁱ равно e^-/2.

5