Матан 3 семестр. / Лекция№61

Лекция №61

6. 24. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

с периодом

Пусть - периодическая функция периода , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, тогда

,

при этом коэффициенты ряда определяются равенствами. Преобразуем общий член ряда с помощью формул Эйлера:

Если положить:

или, что то же,

тогда общий член ряда Фурье запишется в виде:

и, таким образом, частная сумма ряда Фурье запишется так:

Переходя в этом равенстве к пределу при и обозначив

получим:

то есть

.

Найдем теперь выражения для коэффициентов . Действительно, если учесть выражения для и , то получим:

то есть

Нетрудно видеть, что при всех целых n справедливо равенство

при этом интегрирование можно вести по любому отрезку длины 2p.

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x).

Пример . Записать ряд Фурье в комплексной форме для периодической функции f(x) периода , определенной при равенством .

От комплексной формы перейти к действительной форме ряда Фурье функции f(x).

Решение. 1) По формулам (3.1), (3.2) запишем при этом

или, иначе,

Подставляя в ряд для f(x), получим ряд Фурье этой функции

2) Если учесть, что

то найдем:

и, значит,

при

Или в другом виде

при

6.25. Комплексная форма ряда Фурье для периодической функции периода T=2l.

Пусть f(x) – периодическая функция периода T=2l, удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда подстановка приводит к функции с периодом 2p, разложимой в ряд Фурье. Для такой функции по формулам (1), (2) имеем:

где

Переходя к аргументу x, с помощью подстановки получим:

при этом

или окончательно

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье этой функции f(x).