6.4. Интегрирование равномерно сходящихся функциональных рядов

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании суммы сходящегося функционального ряда.

Теорема 3.Если функция (n=1,2,3,…) непрерывна в промежутке Х=[a,b], и составленный из них ряд (3)сходится в этом промежутке равномерно, то интеграл от суммы f(x) ряда (3) представляется следующим образом:

(9)

Доказательство. Ввиду непрерывности функцийиf(x) существование всех этих интегралов очевидно. Проинтегрировав тождество

в промежутке [a,b], получим:

Таким образом, сумма nчленов ряда(9) разнится от интеграладополнительным членом. Для доказательства разложения ряда (9) нужно лишь установить, что

(10)

В силу равномерной сходимости ряда (3), для любого найдется номерNтакой,что приn>N

cразу для всех х в рассматриваемом промежутке. Тогда для тех же значенийnбудет:

что и доказывает предельное соотношение (10).

Равенство(9) может быть написано в виде

,

так что в случае равномерно сходящегося ряда интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов его членов, или, иными словами, допустимо почленное интегрирование ряда.

Укажем теперь обобщение теоремы 5, связанное с отказом от требований непрерывности рассматриваемых функций.

Теорема 4.Если функция (n=1,2,3,…) интегрируема в промежутке X=[a,b], и составленный из них ряд (3) сходится равномерно, то сумма f(x) ряда также будет интегрируема, и имеет место разложение (9).

Доказательство. Остановимся на интегрируемости функцииf(x).

Ввиду равномерной сходимости ряда, по заданному наперед , мы можем фиксироватьnмалое столь большим, чтобы во всех точках промежутка [a,b] было:

(11)

Возьмем какую нибудь часть [] промежутка, [a,b], и пустьm,Mбудут точные границы функциив [],=M-m-ее колебания; соответствующие колебанию функцииf(x) обозначим через. Ввиду (11), в пределах промежутка [] :

Разобьем теперь промежуток [a,b] обычным образом на частичные промежутки [] и станем значкомiотмечать колебания, относящиеся кi-му промежутку. Тогда, и

Так как второе слагаемое справа произвольно мало, а первое стремится к 0 вместе с , то это же справедливо и относительно выражения слева, откуда и следует интегрируемость функцииf(x).

Что же касается равенства (9), то оно доказывается буквально так же, как и выше.

6.5 Дифференцирование равномерно сходящихся функциональных рядов

.

С помощью теоремы 5 предыдущего пункта легко доказывается следующее.

Теорема 5.Пусть функции (n=1,2,3,…) определены в промежутке X=[a,b] и имеют в нем непрерывные производные Если в этом промежутке не только сходится ряд (3), но и равномерно сходится ряд, составленный из производных:

(12)

то и сумма f(x) ряда (3) имеет в Х производную, причем

. (13)

Доказательство.Обозначим черезf*(x) сумму ряда (12); ввиду теоремы 1(пункта5.3), это будет непрерывная функция от х. Воспользовавшись теперь теоремой 3, проинтегрируем ряд (12) почленно в промежутке отaдо произвольного значения х из Х; мы получим

.

Но, очевидно, так что

Так как интеграл слева, ввиду непрерывности подинтегральной функции, имеет производную, равную f*(x), то ту же производную имеет и функцияf(x), которая от интеграла отличается лишь на постоянную.

Равенство (13) можно переписать( если воспользоваться, следуя Коши, обозначениям Dдля производной) в виде

Таким образом, при указанных условиях, производная от суммы ряда оказывается равна сумме ряда, составленного из производных его членов, или, иными словами, допустимо почленное дифференцирование ряда.

Рассмотрим ряды

и

.

Первый из них сводится к 0 при х=0 и к 1 в остальных точках, а сумма второго везде равна 0. Если продифференцировать их почленно, то получатся уже знакомые нам ряды(15), сходящиеся во всем промежутке [0,1] к 0, но оба неравномерно. В первом случае ряд из производных сходится и при х=0, где сумма первоначального ряда производной иметь не может, ибо разрывна в этой точке. Во втором случае, наоборот, почленное дифференцирование повсюду приводит к верному результату. Этими примерами иллюстрируется роль требования, чтобы ряд производных сходился равномерно: оно существенно, но не необходимо.

Теорема 6.Пусть функции (т=1,2,3,…) определены в промежутке Х=[a, b] и имеют в нём конечные производные . Если ряд (3) сходится хоть в одной точке, например при х=а, а ряд (12), составленный из производных, равномерно сходится во всём промежутке Х, то тогда

1) ряд (3) сходится равномерно во всём промежутке

и

2) его сумма f(x) имеет в X производную, выражаемую равенством (13).

Доказательство. Возьмём в промежутке [a,b] две различные точкии х и составим ряд

(14)

Мы докажем, что при любом фиксированном этот ряд сходится для всехи при том равномерно относительно х.

С этой целью, задавшись произвольным числом , ввиду равномерной сходимости ряда (12), найдём такой номерN, что приn>Nиm=1,2,3,… неравенство

(15)

выполняется для всех значений х одновременно. Фиксируя на момент nиm, рассмотрим функцию

eё производная

В силу (15), по абсолютной величине всегда меньше. Но, очевидно,

где cсодержится междуи х (теорема Лагранжа).

Поэтому, окончательно, для всех

так как это неравенство имеет место лишь только n>N, каково бы ни былоm=1,2,3,…, то равномерная сходимость ряда (14) этим доказана. Отсюда уже вытекают все нужные нам заключения.

Прежде всего, взяв из равномерной сходимости ряда

а с ним и

и из сходимости ряда заключаем о равномерной же сходимости ряда.

Если через f(x) обозначить его сумму, то суммой ряда (14), гдеесть снова любое значение х а промежутке [a,b], - очевидно, будет. Так как в равномерно сходящемся ряде можно переходить к пределу почленно( по теореме о почленном переходе к пределу*), то, устремляя х к, получим:

Замечание. Все эти теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании устанавливают аналогию между функциональными рядами и суммами конечного числа функций. Аналогия эта, однако, ограничена известными условиями, в характеристике которых равномерная сходимость занимает исключительное место.