6.2. Мажорируемость и равномерная сходимость функциональных рядов.

Функциональный ряд называетсямажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой рядс положительными членами, что для всехвыполняется неравенство<.

Рассмотрим последовательность вида

,

Это значит, что

Но для каждой точки х номер может оказаться свой, т.е. для разных значений х разные значения N.

Геометрический смысл:

Припоследовательность будет сходящейся и для неё существует- номер

существует

Определение : Последовательность сходится на множествеX равномерно, если

для всех х одновременно.

Сходимость функционального ряда означает, что в каждой точке частичная сумма мало отличается от ,при этом в другой точке для достижения такой же малой разности потребуется, возможно, большее количество слагаемых. Т.е. одного N недостаточно для всех х. Такая сходимость называется поточечной и не является равномерной.

Пример. .Частичная сумма этого ряда равна, а и 1,если х=1.

Определение: Функциональный ряд называетсяравномерно сходящимся в области , если для любого сколь угодно малого положительногонайдется такое значение, что для всех>будет выполняться неравенство<для всехиз области.

Критерий Коши: Для того , чтобы равномерно сходилась наX, необходимо и достаточно

и

Доказательство. Необходимость:

,

А значит и для любого

Докажем, что это выполняется

,

Т.к. и

Достаточность:

Докажем, что из данного неравенства следует, что последовательность сходится.

Зафиксируем n, а m пусть стремится к .

,

Следовательно, существует предел.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов:

Если функциональный ряд мажорируется числовым рядом, то он сходится равномерно, т.е. для любого>0 найдется такой номер, что для всех>будет выполняться неравенство<для всехиз области.

Доказательство.

Используем критерий Коши.

Но ряд является сходящимся, а значит, для него выполняется критерий сходимости числовых рядов. Это значит, что и

Критерий Коши выполняется и для ряда.

Следует отметить, что равномерно сходящийся функциональный ряд не обязательно мажорируем.

Пример 1. Исследовать сходимость функционального ряда .

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

.

При любом действительном имеет место неравенство. Ряд с общим членомпредставляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию. По признаку сравнения рядсходится при всех действительных.

6.3. Непрерывность суммы функционального ряда

Оказывается, что функциональные свойства суммы ряда зависят от характера приближения к при .

Теорема 1. Пусть функции определены в промежутке Х=[a,b] и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд в промежутке Х сходится равномерно, то и сумма ряда f(x) в точке также будет непрерывна.

Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, имеем при любомn=1,2,3,… и любом х из Х:

(5)

и, в частности,

Откуда

. (6)

Зададим теперь произвольное . Ввиду равномерной сходимости ряда можно фиксировать номерnтак, чтобы неравенство

(7)

выполнялось для всех значений х в промежутке Х(в том числе и для ). Отметим, что при фиксированномnфункцияесть сумма определенного конечного числа функций, непрерывных в точке. Поэтому она также непрерывна в этой точке, и по заданномунайдется такое, что прибудет

(8)

Тогда, ввиду (5),(6) и (7), неравенство || <влечет за собой

что и доказывает теорему.

Естественно, если функции непрерывны во всем промежутке Х=[a,b], то при наличии равномерной сходимости и сумма ряда ,

f(x), будет непрерывна во всем промежутке.

Теореме 2.(Дини) Пусть члены ряда непрерывны во всем промежутке Х=[a,b] и положительны. Если ряд имеет сумму f(x), также непрерывную во всем промежутке, то он сходится в этом промежутке равномерно.

Доказательство.Рассмотрим остатки ряда :

Функция от х, как разность двух непрерывных функций, также непрерывна. Ввиду положительности членов ряда последовательность {}, при постоянном х, является убывающей (невозрастающей):

Наконец,поскольку ряд сходится в промежутке Х, при любом постоянном х

Для того чтобы установить равномерную сходимость ряда, достаточно доказать, что для каждого числа существует хоть одно значениеn, при которомодновременно для всех х (ибо тогда для больших значенийnэто неравенство выполнялось бы и подавно).

Доказательство этого будем вести от противного. Предположим, что для некоторого такого номераnне существует. Тогда при любомn=1,2,3,… в промежутке Х найдется такое значение, что. К последовательности {}, все элементы которой содержатся в конечном промежутке Х, применим лемму Больцана-Вейерштрасса и выделим из нее частичную последовательность {}, сходящуюся к пределу.

Ввиду непрерывности, имеем:

,

каково бы ни было m. С другой стороны, при любомm, для достаточно большихk:

так что .

Переходя здесь к пределу при , получим

.

А это неравенство, имеющее место при любом m, противоречит тому, что

.

Теорема доказана.