Лекция №13

6.1. Функциональные ряды и последовательности. Общие понятия теории функциональных рядов.

Пусть функции определены на множествеEиРяд

(6)

называется сходящимся в точке если сходится ряди абсолютно сходящимся в точкеесли присходится ряд

(7)

Если ряд (6) сходится в каждой точке то этот ряд называют сходящимся на множестве Е, а если в каждой точкесходится ряд (7), то ряд (6) называют абсолютно сходящимся на множестве Е. Сумму

(8)

называют n-й частичной суммой ряда (6), а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда (6) называют его суммой:

(9)

Множество всех значений x, при которых сходятся ряды (6) и (7), называют соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда (6).

Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются функции

(1)

от одной и той же переменной х, определенные в некоторой области ее изменения Х . Пусть для каждого х из Х эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также представляет собой функцию от х (в Х):

(2)

которую мы будем называть предельной функцией для последовательности (1) .

Рассмотрим теперь ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной х в некоторой области Х:

(3)

Пусть этот ряд сходится при каждом значении х в Х; тогда его сумма также представляет собой некоторую функцию от х: f(x). Эта сумма определится предельным равенством вида (2), если подразуметь частичную сумму

(4)

Обратно, вопрос о предельной функции для произвольно заданной последовательности (1) можно рассматривать под видом ряда (3), если положить

Чаще придется иметь дело именно с функциональными рядами, так как эта форма исследования предельной функции на практике обычно удобнее.

Как оказывается, функциональные свойства предельной функции(или – что то же самое – суммы ряда) f(x) существенно зависят от самого характера приближениякпри различных значениях х.

Определение. Ряд, членами которого являются функции от, называется функциональным рядом:

.

Функциональный ряд при определенном значении дает числовой ряд, который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Функциональный ряд будет сходящимся, если существует предел последовательности частичных сумм;

Если полученный числовой ряд сходится, то точканазываетсяточкой сходимости ряда . Если же ряд расходится при, тоназываетсяточкой расходимости функционального ряда.

Областью сходимости функционального ряда называется множество числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится.

В области сходимости функционального ряда сумма ряда является некоторой функцией от и определяется стандартным образом как предел последовательности частичных сумм: , где

- частичная сумма ряда.