8.9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

от функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения

Пусть функция аналитична в точкеz₀, причем f(z₀) )0, и пусть z = z(t) = x(t)+iy(t) - уравнение некоторой кривой Г на плоскости комплексного переменного, причем z₀ = z(t₀). Будем предполагать, что функция z(t) имеет в точке t₀ производную, отличную от 0: z (t₀) = x(t₀)+iy(t₀)  0. Как известно, вектор z(t₀) = x(t₀)+iy(t₀) направлен по касательной к кривой Г в точке z₀.

Пусть w₀ = f(z₀) - образ точки z₀, а L - образ кривой Г при отображении w = плоскости XOY на плоскость UOV (рис. 1.12). Уравнение кривой L имеет

Рис. 1.12

вид w = w(t) = f[z(t)]. По правилу дифференцирования сложной функции w (t) = f [z(t)]z (t).

Так как f (z₀)0, z (t₀)0, то w (t₀) = f(z₀)z (t₀)0.

Следовательно,

Argw (t₀) = argf  (z₀)+Argz (t₀) = +Argz (t₀), (1.49)

где  = arg f  (z₀) не зависит от вида кривой Г. Векторы z (t₀)

и w (t₀) определяют направление касательной к кривым Г и L соответственно в точках z₀ и w₀ . Поэтому равенство (1.49) позволяет сделать следующий вывод.

Если аналитическая функция имеет в точкеz₀ производную f  (z₀)0, то аргумент этой производной равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z₀ к любой кри-

вой, проходящей через эту точку, чтобы получить направление касательной в соответствующей точке w₀ к образу данной кривой при отображении w = . Если = arg f  (z₀)>0, то поворот происходит против часовой стрелки, если  < 0, то по часовой стрелке.

Если через точку z₀ провести любые две кривые Г₁ и Г₂, имеющие касательные в этой точке, то направление касательных к образам L₁ и L₂ этих кривых в точке w₀ = f(z₀) получаются путем поворота касательных к кривым Г₁ и Г₂ на один и тот же угол . Поэтому угол между кривыми L₁ и L₂ по величине и направлению совпадает с углом между кривыми Г₁ и Г₂ (рис. 1.13).

. Рис.1.13

Отображение, сохраняющее углы между линиями, на-зывается конформным. Если при этом сохраняется и на-правление отсчета углов, то такое отображение называется конформным отображением первого рода.

Таким образом, отображение, осуществляемое ана-литической функцией, является конформным отображением первого рода во всех точках, в которых производная от этой функции отлична от нуля.

Чтобы выяснить геометрический смысл модуля производной, заметим, что z равен расстоянию между точками z₀ и z₀+z, а w равен расстоянию между точками w₀ и w₀+w. Поэтому величина w/z показывает, в каком отношении изменяется расстояние между точками z₀ и z₀ + z при отображении w = f(z).

Так как , то величину f  (z₀) естественно назвать коэффициентом растяжения в точке z₀ при отображении w = f(z). Если  f  (z₀) > 1, то в достаточно малой окрестности точки z₀ расстояние между точками при отображении увеличивается и происходит растяжение области, если же f  (z₀) < 1, то отображение w = в окрестности точкиz₀ приводит к сжатию. Так как величина f  (z₀) не зависит от того, по какому направлению точка z₀+z стремится к точке z₀, то коэффициент растяжения в данной точке одинаков во всех направлениях.

В качестве примера рассмотрим отображение, осу-ществляемое линейной функцией

w = kz + b, 1.50)

где k  0, b - постоянные комплексные числа.

Так как w = k>0, то отображение (1.50) конформно во всех точках комплексной плоскости. Рассмотрим все возможные случаи, при этом для большей наглядности будем считать плоскость w совмещенной с плоскостью z.

1. Пустьk = 1, то есть w = z + b.

Так как сложение комплексных чисел равносильно сложению соответствующих векторов, то при отображении w = z + b точка w получается из точки z сдвигом на один и тот же вектор, соответствующий комплексному числу b (рис. 1.14).

Рис. 1.14

В этом случае линейная функция (1.50) осуществляет па-

раллельный перенос плоскости z на один и тот же вектор.

2. Пусть b = 0, k = 1, argk = , то есть w = e^iz.

Так как при умножении комплексных чисел их модули

перемножаются, а аргументы

складываются, то w=z,

argw = argz+. Поэтому вектор w получается поворотом вектора z на угол  (рис. 1.15). Следовательно, в этом случае плоскость w получается из плоскости z поворо

том на угол . Рис. 1.15

3. Пусть b = 0, k = r > 0: w = rz.

В этом случае argk=0, k=r, поэтому argw=argz, w = rz . Первое из этих равенств показывает, что точки w и z находятся на одном и том же луче, выходящем из начала координат, а из второго следует, что w/z = r = const (рис. 1.16).

Следовательно, в этом случае функцияw = rz осуществляет преобразование подобия (гомотетию) с центром подобия в начале координат. Если же k = -r<0, то функция w= -rz, кроме преобразования подобия

осуществляет еще и зеркальное

отражение точки z от начала координат. Рис.1.16

4. Общий случай линейного преобразования w= kz+b сводится к рассмотренным выше простейшим преобразованиям. Действительно, если k = r, argk =, то w = re^iz + b и переход от точки z к точке w осуществляется путем последовательного применения следующих операций: 1) поворота вектора z около начала координат на угол ; 2) преобразования подобия с центром подобия в начале координат и коэффициентом подобия r; 3) параллельного переноса на вектор, соответствующий комплексному числу b.

14