6.16. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях

Вычисление значений функции. Пусть дан степенной ряд функции. Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно установить путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена формул Тейлора или Маклорена. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда используется оценка, где - первый из отброшенных членов ряда.

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,0001 значение ln1,1.

Решение.

Для вычисления приближённых значений функции с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том случае, когда соответствующий ряд является знакочередующимся; для знакочередующегося сходящегося ряда легко оценить погрешность приближённого значения суммы – она меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

1. Возьмём ряд для функции ln(1+x):

,

Который сходится к ln(1+x) в интервале (-1,1], и, полагая, x=0,1 , получим ряд для вычисления ln1,1 с любой точностью.

Абсолютное значение четвёртого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближённого значения ln1,1 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трёх первых членов ряда

.

Точность: 0,001.

В прикладных задачах важна оценка погрешности приближения.

Определение: Точность вычисления не превышает первого из отброшенных элементов ряда.

1.Оценить погрешность приближенного равенства

Решение. Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после в разложении :

,

или

Заменив каждый из сомножителей ,… меньшей величиной , получим неравенство

Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим:

, т.е.

2.Вычислить с точностью до 0,00001.

Решение. Используя разложение в ряд, получаем

.

Определим число так, чтобы погрешность приближенного равенства

не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в предыдущем примере. Полагаем , тогда:

т.е. .

Путем подбора определим, при каком значении будет выполняться неравенство . Пусть , тогда , т.е. . Пусть , тогда , т.е. . Принимаем . .

Вычисляем каждое слагаемое с точностью до 0,000001, для того чтобы при суммировании не получить погрешность, превышающую 0,00001. Окончательно получаем .

3. Вычислить с точностью до 0,00001.

Решение. Имеем

.

Получен знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям сходимости признака Лейбница, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что , поэтому первый из отброшенных членов равен и . Вычисляем сумму и получаем .

4. Пользуясь разложением в ряд, вычислить с точностью до 0,0001 .

Решение. .

Достаточно взять три члена ряда, так как Тогда

5. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд, полагая . Имеем

.

Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак

6. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Так как является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: . Тогда

Четвертый член меньше , поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, , т.е. .

7. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд:

,

или , откуда

Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.

8.. Ответ: 3,017.

9. Ответ: 0,340.

10.. Ответ: 0,84147.

11. . Ответ: 1,3956.

12. , . Ответ: 1,140.

13. Ответ: 0,302.

14. Ответ: 0,464.

15. Ответ: 1,0986.

16., Ответ: 0,999.

17. Ответ: 0,3679.

Вычисление интегралов. Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.

18. Вычислить с точностью

Решение. Воспользуемся разложением . Заменив в нем на , получим ряд .

Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,

,

поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше

19. Найти интеграл в виде степенного ряда и указать область его сходимости.

Решение. Воспользуемся разложением , получим ряд для подынтегральной функции

.

Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать:

.

Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой.

Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до .

20. . Ответ: 0,070.

21. . Ответ: 0,223.

22. . Ответ: 0,162.

23. . Ответ: 0,480.

24. . Ответ: 0,054.

25. . Ответ: 0,484.

26. . Ответ: 0,487.

27. . Ответ: 0,156.

28. . Ответ: 0,059.

29. Ответ: 0,103.

Приближенное решение дифференциальных уравнений.

В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.

При решении задачи Коши , используется ряд Тейлора , где, а остальные производные находятся путем последовательного дифференцирования уравнения и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения можно также искать в виде разложения в степенной ряд

с неопределенными коэффициентами.

30. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения, если .

Решение. Из данного уравнения находим, что. Дифференцируем исходное уравнение:

и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получаем

.

31.Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям .

Решение. Подставим в уравнение начальные условия, получим:

Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:

Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем

.

32.Используя ряд

,

записать четыре первых ненулевых члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши

Решение. В ряде

полагаем , с учетом начального условия находим, что . Продифференцируем ряд

и подставим полученную производную, а также в виде ряда в данное дифференциальное уравнение. Тогда

+

Теперь в правой и левой частях последнего равенства приравняем коэффициенты при одинаковых степенях разности (т.е. при . Получаем уравнения:

из которых, учитывая, что , находим:

Следовательно, искомое разложение решения имеет вид

.

Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения

33. Ответ: .

34. Ответ: .

35. Ответ: .

36. Ответ: .

37. Ответ: .

Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

38. Ответ: .

39. Ответ: .

40.

Ответ: .

41. Ответ: .

42.

Ответ: .