Лекция 57 разложение функций в степенные ряды

Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , т.е. , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней бесконечный степенной ряд Тейлора

,

если в этом интервале выполняется условие , где - остаточный член формулы Тейлора, .

При получаем так называемый ряд Маклорена: .

Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом выполняется неравенство , где - положительная постоянная, то и функция разложима в ряд Тейлора.

Приведем разложения в ряд Тейлора следующих функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) биномиальный ряд:

.

Это последнее разложение применимо в следующих случаях:

при если

при если

при если .

В общем случае разложение функций в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. На практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (1-8) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды сходятся к соответствующим функциям.

1.Разложить по степеням разности функцию .

Решение. Для того, чтобы воспользоваться формулой Тейлора при , найдем:

и т.д.

Следовательно,

2.Разложить в ряд по степеням .

Решение. Воспользуемся равенством . Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Отсюда получаем

, т.е.

.

Так как , то

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей:

Поскольку то

Так как ряд сходится при , а ряд сходится при , то ряд сходится к данной функции при .

4.Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. Найдем значения функции и ее производных при

Так как , то при фиксированном имеет место неравенство при любом . Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Тейлора:

.

В данном случае

Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении заменить на .

5. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. В разложении

заменяем на , получаем

.

6. Разложить в ряд по степеням .

Решение. В разложении

заменяем на , получаем

.

7. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. Заметим, что .Рассмотрим ряд

.

Данный ряд сходится при , значит, его можно почленно интегрировать на любом отрезке . Следовательно,

, т.е получили ряд, сходящийся к данной функции при

8. Разложить по степеням многочлен

Ответ:

9. Разложить по степеням функцию и найти область сходимости полученного ряда.

Ответ:

10. Разложить по степеням функцию и найти область сходимости этого ряда.

Ответ:

11. Разложить по степеням функцию . Найти область сходимости этого ряда.

Ответ

Разложить в ряд Маклорена функцию . Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.

12. . Ответ:

13. Ответ: .

14. . Ответ: .

15. . Ответ:

16. Ответ: .

17. . Ответ: .

18. Ответ:

19. . Ответ: .