Матан 3 семестр. / лекция№62

Лекция №62

6.27. Интеграл Фурье.

.

Если в последнем равенстве перейти к пределу при , то получим:

.

Здесь также использована чётность функции по . Последнее равенство называется разложением функции в интеграл Фурье.

,

где

, .

6.28.Преобразование Фурье.

Стоящий в соотношении (1.2.4) двойной интеграл называют интегралом Фурье в комплексной форме. Если вос­пользоваться здесь формулами Эйлера и принять во внимание значе­ния интегралов в симметричных пределах (по переменной ) от чет­ных и нечетных функций, то получим для представление

(1.3.)

Выражение (1.3. ) называют интегралом Фурье в вещественной форме. Производя в (1.3 ) замену и вводя обозначения

(1.3.11)

И

(1.3.12)

выражение (1.3.10) можно записать в виде

(1.3.13)

который напоминает ряд Фурье, причем суммирование заменено инте­грированием.

Соотношения (1.3.11), (1.3.12), и (1.3.13) называют также преобразованиями Фурье в вещественной форме. Эти преобразования для четных или не­четных функций принимают более симметричный вид. Действительно, если функция - четная, то имеем пару так называемых косинус-преобразований Фурье:

(1.3.14)

Если же функция — нечетная, то имеем пару синус-преобра­зований Фурье:

(1.3.15)

Из соотношения (4) также легко получить и преобразования Фурье в комплексной форме:

(1.3.16)

В каждой паре преобразовании (1.3.14), (1.3.15) или (1.3.16) одно равенство можно рассматривать как интегральное уравнение относительно неизвестной функции; тогда второе равенство дает решение этого интегрального уравнения.

Если конечен интеграл , то для преобразований (1.3.16) имеет место

аналог равенства Парсеваля

(1.3.17)

Стоящий слева интеграл в электротехнике, радиотехнике и ряде других дисцип­лин называют нормализованной энергией Е; которая определяется энергией, рас­сеиваемой током , протекающим через сопротивление в 1 Ом. Функция, входящая в интеграл справа, носит название спектра плотности энергии и показывает относительный вклад различных частотных составляющих и общую энергию.

Примеры: Найти преобразование Фурье для функции , если:

Пример 1:

Решение. Подставляя данную функцию в указанную формулу преобразования, получаем:

Пример 2:

Решение. Как и в предыдущем примере, находим:

Заметим, что последний интеграл можно получить дифференцированием интеграла из предыдущего примера по параметру (дифференцирование под знаком интеграла справедливо в силу равномерной сходимости интеграла относительно ).

Пример 3: Найти косинус- и синус- преобразования функции

Решение. Имеем

Так как

то

Аналогично получаем

В свою очередь, применив косинус- и синус- преобразования Фурье к функциям и,получим функцию ,т.е.

Отсюда получаем интегралы Лапласа:

Пример 4: Пусть функция определена равенствами

Найти ее косинус- и синус- преобразования функции изображенной на рисунке:

Решение. Находим косинус- преобразование данной функции:

Найдем теперь синус- преобразование:

Отсюда получаем

(разрывный множитель Дирихле) и

5