Матан 3 семестр. / лекция№60

Лекция №60

6.21. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Теорема: Для любой чётной функции её ряд Фурье состоит только из косинусов.

Для любой нечётной функции: .

Доказательство: Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то

.

Действительно,

так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).

Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; следовательно,

(21)

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x)·sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то:

(22)

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной, а также получать разложение в ряд Фурье функции, заданной на части промежутка .

Во многих задачах функция задается в интервале . Требуется представить данную функцию в виде бесконечной суммы синусов и косинусов углов, кратных числам натурального ряда, т.е. необходимо произвести разложение функции в ряд Фурье. Обычно в таких случаях поступают следующим образом.

Чтобы разложить заданную функцию по косинусам, функцию доопределяют в интервале четным образом, т.е. так, что в интервале . Тогда для «продолженной» четной функции справедливы все рассуждения предыдущего параграфа, и, следовательно, коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам

,

.

В этих формулах, как видим, фигурируют значения функции , лишь заданные в интервале . Чтобы разложить функцию , заданную в интервале , по синусам, необходимо доопределить эту функцию в интервале нечетным образом, т.е. так, что в интервале .

Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье нужно вести по формулам

,

.

Теорема 1. Функцию заданную на промежутке можно бесконечным числом способов разложить в тригонометрический ряд Фурье, в частности по cos или по sin.

Замечание. Функция , заданная в интервале может быть доопределена в интервале любым образом, а не только так, как было сделано выше. Но при произвольном доопределении функции разложение в ряд Фурье будет более сложным, чем то, которое получается при разложении по синусам или косинусам.

Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию , заданную в интервале (рис.2а).

Решение. Доопределим функцию в интервале четным образом (график симметричен относительно оси )

а б

Рис.2

,

.

Так как , то

при ,

при

и

6.22. Ряд Фурье для функции, заданной на произвольном промежутке

До сих пор мы рассматривали функцию, заданную в интервале , считая ее вне этого интервала периодической, с периодом .

Рассмотрим теперь функцию , период которой равен 2l, т.е. на интервале , и покажем, что в этом случае функция может быть разложена в ряд Фурье.

Положим , или . Тогда при изменении от –l до l новая переменная изменяется от до и, следовательно, функцию можно рассматривать как функцию, заданную в интервале от до и периодическую вне этого промежутка, с периодом .

Итак, .

Разложив в ряд Фурье, получим

,

где

.

Переходя к старым переменным, т.е. полагая , получим , и .

То есть ряд Фурье для функции , заданной в интервале , будет иметь вид:

,

где

,

,

.

Если функция четная, то формулы для определения коэффициентов ряда Фурье упрощаются:

,

,

.

В случае, если функция нечетная:

,

,

.

Если функция задана в интервале , то ее можно продолжить в интервале либо четным, либо нечетным образом. В случае четного продолжения функции в интервале коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам

,

.

В случае нечетного доопределения функции в интервале коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам

,

.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

по синусам кратных дуг.

Решение. График заданной функции представлен на рис.3. Продолжим функцию нечетным образом (рис.4), т.е. будем вести разложение по синусам.

Рис.3

Рис.4

Все коэффициенты ,

Введем замену . Тогда при _{получим} , при имеем .

Таким образом

.

6.23..Понятие о разложении в ряд Фурье непериодических функций

Функцию, заданную в основной области (-ℓ, ℓ), можно периодически продолжить за основную область с помощью функционального соотношения ƒ(x+2 ℓ) = ƒ(x).

Для непериодической функции ƒ(x) (-∞ < x < +∞) можно выделить участок (-ℓ < x < ℓ), а затем взять периодическую функцию φ(x) с периодом Т=2 ℓ, которая в промежутке (-ℓ, ℓ) равна ƒ(x). Периодическую функцию φ(x) можно разложить в ряд Фурье

φ(x)= (2.18)

Формула (2.18) будет верна на всей оси -∞ < x < ∞ . Можно написать подобное разложение для функции

ƒ(x)= (2.19)

Формула (2.19) будет верна только на конечном промежутке (-ℓ, ℓ), так как на этом промежутке ƒ(x) и φ(x) совпадают.

Таким образом, непериодическую функцию можно разложить в ряд Фурье на конечном промежутке.