6.18.Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая с периодом 2pфункциятакова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-p,p), то есть является суммой этого ряда:

( .4)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда (11.4). Это, например, будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, то есть сходится положительный числовой ряд

( .5)

Тогда ряд (11.4) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать в промежутке от -p до p:

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

,

,

.

Следовательно,

,

откуда

. ( .6)

Для разыскания коэффициента при каком-либо определенном значенииk¹0 умножим обе части равенства ( 4) на :

( .7)

Ряд, получившийся в правой части равенства, мажорируем, так как его члены не превосходят по абсолютной величине членов сходящегося положительного ряда (5). Поэтому его можно почленно интегрировать на любом отрезке.

Проинтегрируем равенство ( 7) в пределах от -pдоp:

Принимая во внимание формулы ( .3), видим, что все интегралы в правой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом .

Следовательно,

,

откуда

. ( 8)

Умножая обе части равенства (11.4) на и снова интегрируя от-pдоp, найдем

,

откуда

. ( 9)

Коэффициенты, определенные по формулам (6)-(9), называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции.

Если ряд Фурье сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом, т.е..

Является ли построенный таким образом ряд Фурье сходящимся и если он сходится, то имеем ли мы право утверждать, что он сходится именно к функции ƒ(x), с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?

Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет место для довольно широкого класса функций. Достаточные условия сходимости ряда Фурье, и, следовательно, возможность разложения функций в ряд Фурье даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту теорему, напомним определения.

Функция ƒ(x) называется кусочно-монотонной на сегменте [a, b], если этот сегмент можно разделить на конечное число сегментов, внутри каждого, из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Функция ƒ(x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a, b], если:

1)функция непрерывна на сегменте [a, b] или же имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода;

2) функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

Условия сходимости тригонометрического ряда Фурье

Теорема Дирихле. Пусть функция на сегментеимеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрываI рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента и суммаэтого ряда:

1. во всех точках непрерывности функции, лежащих внутри сегмента;

2. , где- точка разрываI рода функции ;

3. на концах промежутка, т.е. при.