Лекция №59

6. Ряды и преобразования Фурье

6.16. Периодические функции и гармонические колебания

При изучении периодических процессов, например в радиоэлектронике, теории автоматического регулирования, удобнее разлагать функции не в степенные ряды, а в тригонометрические. Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое функцией

где:

Максимальное значение этой функции равно А, а минимальное (-А). Следовательно, все значения этой функции заключены между -А и А. Поэтому А называется амплитудой колебания. Переменный угол ωt+φназываетсяфазой колебания.Начальная фаза колебанияφвсегда положительна и мень­ше 2. Время Т, в течение которого точкаМ сделает один полный оборот по окружности, называетсяпериодом гармонического колебания. В течение этого периода проекцияР точкиМ пройдет дважды все свои возможные положения и возвратится в первоначальное положение. Исключение составят лишь предельные положенияС иD (см. рис. 1), каждое из которых точка пройдет один раз.

Р

М

О

М₀

ωt

φ

D

Рис. 1.

Сложное гармоническое колебание возникает в результате наложения конечного или бесконечного числа простых гармоник.

Рассмотрим сложное гармоническое колебание на отрезке , которое называется тригонометрическим рядом.

где это положение равновесия, вокруг которого совершаются колебания. Постоянные числаи(n=1, 2, …) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Напомним понятие и свойства периодических функций.

Определение:Функцияназывается периодической, если:

Свойства периодических функций:

1. Если период функции равен, то период функцииравен;

2. Если период функции равен, а-, то период функцииравен;

3. Если функция имеет периоди интегрируема на отрезке, топри любыхи.

Доказательство:

Пусть, например, , тогда

. (11.1)

С другой стороны,

(11.2)

Но Подставляем полученный результат в (11.2) и, сравнивая с (11.1), имеем.

В частности, .

Пример 1.

6.17.Тригонометрическая система функций

Определение: Система функцийназывается ортогональной системой функций на отрезке [a,b] если

Теорема:Система функций является системой ортогональных функций на.

Доказательство: Для доказательства теоремы проинтегрируем всевозможные произведения двух функций из системы:

;

;

;

; ( 3)

;

;

.

Например, докажем, что

Аналогично доказываются другие равенства.

Таким образом система функций (11.3) может рассматриваться как базис в пространстве функций для представленных -периодичных функций.

Рассмотрим тригонометрический ряд

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов,прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), ввиде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х₀, в силу периодичности функций(n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида(m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S_n(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

а потому и , т. е. S(x₀+T)=S(x₀). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.