Lection №10: Цифровой логический
уровень
08.12.1864, Баллинтемпл, графство Корк, Ирландия) — английский математик и логик.
Профессор математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк) с 1849.
Один из основоположников математической логики
Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций..
Четыре их дочери снискали известность как учёные (геометр Алисия, химик Люси), или члены учёных семей (Мэри, жена математика и писателя Ч. Г. Хинтона, и Маргарет, мать математика Дж. И. Тейлора), а пятая — Этель Лилиан Войнич — прославилась как писатель.
Буль умер на пятидесятом году жизни от воспаления лёгких.
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov
Outline
Логические элементы и таблицы истинности
Логические операции
Законы алгебры логики:
●закон одинарных элементов;
●законы отрицания;
●комбинационные законы;
●правило поглощения;
●правило склеивания.
Свойства логических операций
Резюме к лекции и список используемой литературы
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov
Логические элементы и таблицы истинности
!Абсолютно все цифровые микросхемы состоят из одних и тех же логических элементов – «кирпичиков» любого цифрового узла
Логический элемент – это такая схема, у которой несколько входов и один выход.Каждому состоянию сигналов на входах, соответствует определенный сигнал на выходе.
Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.
Обычно сигнал от 0 до 1 В представляет одно значение (н-р, 0), а сигнал от 2 до 5 В — другое значение (н-р, 1).
Электронные устройства, которые называются вентилями, могут вычислять различные функции от этих двузначных сигналов.
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov
Физические представления
Знакомьтесь – транзисторный инвертор на основе биполярного транзистора.
Если Uвх < некоторого Uкр.– транзистор закрыт и живет в
схеме как большое сопротивление. Тем самым приводя к тому, что напряжение на выходе Vout близко к напряжению,
подаваемому из вне Vcc.
Если же напряжение Vвх ,> некоторого Vкр, то транзистор работает как провод, вызывая заземления сигнала.
Важно отметить, что если Vin низкое, то Vout высокое, и наоборот.
Нормируем так, что высокое Vcc – это логическая “1”, а низкое напряжение «земля» - логический “0”.
Эта схема, таким образом, является инвертором, превращающим логический «0» в логическую «1» и наоборот.
Резистор же подбирается затем, чтобы ограничить I , проходящего через транзистор, чтобы не сжечь его. На переключение из одного состояния в другое требуется всего несколько наносекунд.
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov
Физические представления
Знакомьтесь – NAND – или логический элемент не-и.
Два транзистора соединены последовательно. Если напряжение и V1. и V2 высокое, то оба транзистора будут
проводниками и будут снижать Vout. Если же одно из
напряжений будет низким, то соответствующий транзистор будет выключаться и напряжение на выходе будет высоким.
Другими словами, напряжение на выходе Vout будет высоким тогда и только тогда, когда напряжение V1 и напряжение V2
высокое. |
NOR – или логический элемент не-или. |
|
Два транзистора соединены параллельно. Если одно из входных U высокое, то соответствующий транзистор будет включен и U на выходе будет низким.
Если оба U на входах будут низкими, то напряжение на выходе будет высоким
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov
Логические элементы и таблицы истинности
Элемент «И» (AND)
Иначе его называют «конъюнктор».
Понять его не сложно: “1” на выходе элемента «И» возникает только тогда, когда на оба входа поданы единицы.
Это объясняет название элемента: единицы должны быть И на одном, И на другом входе.
Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками /\ или &).
X |
Y |
X*Y |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Элемент «ИЛИ» (OR)
Иначе его называют «дизъюнктор».
На выходе возникает “1”, когда на один ИЛИ на другой ИЛИ на оба сразу входа подана единица.
Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом).
x |
y |
x v y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
http://cxem.net/beginner/beginner28.php
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov
Логические элементы и таблицы истинности
Элемент «НЕ» (NOT)
Иначе его называют «инвертор»
Операция, выражаемая словом "не", называется
инверсией или отрицанием и
обозначается чертой над высказыванием.
X 
┐X 0 
1 1 0
Элемент «ИЛИ-НЕ» (NOR)
Элемент «И-НЕ» (NAND)
Элемент И-НЕ работает точно так же как «И», только выходной сигнал полностью противоположен. Там где у элемента «И» на выходе должен быть «0», у элемента «И-НЕ» - единица. И наоборот.
Элемент «Исключающее ИЛИ» (XOR)
Операция, которую он выполняет, часто называют «сложение по модулю 2». На самом деле, на этих элементах строятся цифровые сумматоры.
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov
Логические операции
ЕСЛИ-ТО
Операция, выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "... влечет ...", называется импликацией
(лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А → В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:
•Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
•Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.
Правило:
Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация
|
— это сокращённая запись для выражения |
. |
||
Таблица истинности логической функции "импликации" |
|
|||
A |
B |
C |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
http://digital.sibsutis.ru/digital/AlgLog.htm |
|
|
|
|
|
|
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov
Логические операции
Синонимические импликации выражения в русском языке:
•Когда А, то B
•В в том случае, если А
•При А В
•Из А следует В
•В случае А произойдет В
•В, так как А
•В потому, что А
•Без А не будет В
•В невозможно в отсутствие А
•В необходимое условие для А
•А достаточное условие для В.
Таблица значений и схема реализации оператора импликации (результат определяется по состоянию мемристора Q после подачи импульсов VCOND и VSET )
0 IMP 0 = 1
0 IMP 1 = 1
1 IMP 0 = 0
1 IMP 1 = 1
Мемресторы - открытых базовых схемотехнических элементах, являющихся своеобразными сопротивлениями с функцией памяти (отсюда их название: memristor = memory + resistor).
Стэнли Уильямс в со авторстве с научно-исследовательского подразделения HP Labs
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov
Логические операции
РАВНОСИЛЬНО
Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~ .
Высказывание А ↔ В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.
A |
B |
C = A~ B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Операция эквивалентности А~В равносильна логическому выражению: (A ¬B) (¬A B)
АКСИОМЫ алгебры логики описывают действие логических функций "И" и "ИЛИ" и записываются следующими выражениями:
0 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 0 = 0; 1 * 1 = 1; 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 1;
Также как в обычной математике в алгебре логики имеется старшинство операций. При этом первым выполняется:
1.Действие в скобках
2.Операция с одним операндом (одноместная операция) – НЕ
3.Конъюнкция - И
4.Дизъюнкция - ИЛИ
5.Сумма по модулю два.
http://digital.sibsutis.ru/digital/AlgLog.htm
•Физический факультет, ЭВУ и системы, 7 семестр,2012 Доцент Моховиков А..Ю. Physics Faculty, Electronic Devices & Systems, 7th semester,2012 Dr. Mokhovikov