Лекция № 6. Различные виды алгебраических структур.

1. Полугруппы.

Определение.Полугруппойназывается алгебра видас одной ассоциативной бинарной операцией.

Как правило, в качестве такой операции используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в видеили, а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в видеи так далее. Такая запись называетсямультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью.

Замечание.Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. Термин “умножение” здесь является достаточно условным. Символ “” применяется именно для того, чтобы указать на это. Под символом“” может пониматься и произведение матриц или векторов, и композиция каких-либо преобразований, и даже сложение.

В общем случае, (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной илиабелевой полугруппой.

Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент , что для любоговыполняется, то этот элемент называетсяединицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называетсямоноидом. Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицыи. Тогдаи, следовательно.

Пример 1.

а) Алгебра , гдемножество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы.

б) Алгебра , гдемножество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица.

в) Алгебра является коммутативной полугруппой с единицей.

Определение.Если любой элемент полугруппыможно представить в виде произведения конечного числа элементов множества, то множествоназываетсяпорождающим множествомилисистемой образующихполугруппы, а его элементы называютсяобразующими.

Например, в полугруппе порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.

Определение. Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называетсяциклической.

Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа , поскольку любое натуральное число – это сумма некоторого количества единиц.

Пусть полугруппа имеет конечное число образующих. Если в записи опустить обозначение операции (как это обычно делается для умножения), то все элементы полугруппы можно рассматривать как слова в алфавите. Причём некоторые различные слова могут оказаться равными, как элементы (равные элементызаписаны различными словами). В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство, позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами. Подобные равенства называютсяопределяющими соотношениями.

Определение.Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называетсясвободной.

Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений. Элементы заданной так полугруппы – это слова в алфавите образующих, причём некоторые слова равны (то есть задают один элемент) в силу определяющих соотношений. Они позволяют из любого слова получить любые эквивалентные ему слова. Отношение равенства слов есть отношение эквивалентности. Кстати, намного сложнее выяснить для двух данных слов, можно ли получить одно из другого с помощью определяющих соотношений. Исследование этой проблемы оказало значительное влияние на теорию алгоритмов.

2. Группы.

Определение 1.Группойназывается полугруппа с единицей, в которой для каждого элементасуществует элемент, называемый обратным к элементуи удовлетворяющий условию.

Если не использовать в определении понятие полугруппы, то определить понятие группы можно следующим образом.

Определение 2.Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называетсягруппой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов a, b, c Aвыполняется свойство ассоциативности:

2) в множестве А существует такой элементе, что для любого элементааиз этого множества выполняется равенство:

3) для любого элементаасуществует элемента^-1из этого же множества такой, что

Замечание.Различные множества могут образовывать группу относительно какой-либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов в множестве-носителе называется порядкомгруппы. Группа, в которой операция коммутативна, называетсякоммутативнойилиабелевой. Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.

Пример 2.

а) Алгебра является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0, а роль элемента, обратного к элементуиграет.

б) Алгебра , гдемножество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементуявляется.

в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой.

г) Множество матриц одинакового порядка с операцией сложения образует абелеву группу.

Замечание.Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы. Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера 2.а соответствующая запись имеет вид, а для группы из примера 2.б -.

3. Поля и кольца.

Определение.МножествоRс двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называетсякольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементовa, b и сRсправедливы равенства:

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную (см. пункт 2) операцию, поэтому его тип - .

Определение.Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элементаa0 и любого элементаbсуществует единственный элементтакой, чтоax = b.

Другими словами, для любой пары элементов иуравнениеимеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.

Пример 3.

а) Алгебра является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнениев ней неразрешимо.

б) Алгебра является полем и называется полем рациональных чисел.

4. Решётки.

До сих пор нами рассматривались алгебры, то есть множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами.Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, у которых множество алгебраических отношений пусто. Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.

Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её приложениях - решётки.

Определение.Решёткойназывается множество, частично упорядоченное отношением нестрогого порядка, с двумя бинарными операциямии, такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки):

1. (идемподентность);

2. (коммутативность);

3. (ассоциативность);

4. (поглощение).

Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия и.

Определение.Если в решётке существует элемент 0, такой что для любоговыполняется, то он называетсянижней гранью (нулём)решётки.

Определение.Если в решётке существует элемент 1, такой что для любоговыполняется, то он называетсяверхней гранью (единицей)решётки.

Определение.Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называетсяограниченной.

Теорема 6.1.Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная.

Определение.В ограниченной решётке элементназывается дополнением элемента, еслии.

Пример 4.

а) Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых , чтои.

б) Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: , еслиявляется делителем. Тогдаесть наименьшее общее кратное этих чисел, аих наибольший общий делитель.

Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна.

Назад, в начало комплекса.