Основы теории множеств Элементы комбинаторики
Множества
•Множество —понятие не сводится к другим понятиям и не определяется
•Предметы (объекты), составляющие множество, называют его элементами
•Предложение «объект a является элементом множества A» записывается
а А
•Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают
.
Операции над множествами
•Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что A — подмножество множества B , записывают
А В.
•Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех
элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Обозначают пересечение множеств A B. A B = {х | х A и х B}.
Операции над множествами
•Объединением двух множеств А и В называется
множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначают объединение множеств A B
•Разностью множеств А и В называется множество,
состоящее из всех элементов, множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначают разность множеств A \ B = {х | х A и х B}.
Операции над множествами
•Симметрической разностью множеств А и В
называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих только одному множеству А или В, обозначают A B
•Универсальное множество U (S) — это самое большое множество элементов, рассматриваемых в задаче
•Дополнением множества A до универсального
называется множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству A - A .
Свойства
•A= U \ A= {х | х U, х A}
•А А = А; А А = А;
•А U = U; А U = А;
•А = А; А = ;
• A |
|
U; |
A |
|
; |
A |
A |
•A A;
•U ; U;
(законы де-Моргана или формулы двойственности).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
A |
B; |
|
A B |
A |
B. |
|||||
Формула включений и исключений
N |
|
A |
N A ... N A |
N A |
A |
... N A |
A |
|
|||||
|
|
i |
i |
|
1 |
k |
|
1 |
2 |
k 1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N A A |
A |
... N A |
A |
|
A |
... 1 k 1 N A A ... A |
|||||||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
k 2 |
k 1 |
k |
|
1 |
2 |
k |
|
•«+», если количество множеств нечетное
•«–», если количество множеств четное.
Чаще эту формулу используют при k=2, оформляя ее отдельной леммой:
N A1 A2 N A1 N A2 N A1 A2
Задача 1. Из 100 школьников английский знают 42, немецкий — 30, французский — 28, английский и немецкий — 5, английский и французский — 10, немецкий и французский — 8, английский, немецкий и французский — 3 школьника. Сколько школьников не знают ни одного языка?
Формула включений и исключений
Обозначим через А — множество школьников, знающих английский язык; N — множество школьников, знающих немецкий язык; F — множество школьников, знающих французский язык.
Тогда n(A) = 42, n(N) = 30, n(F) = 28, n(A N) = 5, n(A F) = 10, n(N F) = 8, n(A N F) = 3.
Найдем с помощью формулы включений и исключений количество школьников, знающих хотя бы один из перечисленных иностранных языков.
n(A N F) = n(A) + n(N) + n(F) –
– n(A N) – n(A F) – n(N F) + n(A N F) =
= 42 + 30 + 28 – 5 – 10 – 8 + 3 = 80.
Следовательно, не знают ни одного иностранного языка: 100 – 80 = 20 школьников.
Формула включений и исключений
• С помощью диаграмм Эйлера-Венна:
Так как 3 языка знают 3 школьника, то английский и немецкий знают 5 – 3 = 2, английский и французский — 10 – 3 = 7, немецкий и французский — 8 – 3 = 5 школьников. Только английский знают 42 – (2 + 3 + 7) = 30, только немецкий —
30 – (2 + 3 + 5) = 20, только французский — 28 – (3 + 5 + 7) = 13 школьников. Ни одного языка не знают 100 – (2 + 3 + 5 + 7 + школьников.
Элементы комбинаторики
•Комбинаторика – это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам.
•Центральное место в комбинаторике занимают
перечислительные задачи.
•Перечисление вариантов осуществляется перебором, с помощью таблиц, графов, деревьев, либо заданием алгоритма, обеспечивающего получение всех возможных вариантов.
•Для подсчета числа решений комбинаторных задач
существуют различные правила, основными из которых являются правила произведения и суммы