Шараев Теория экономического роста (2006)
.pdfГлава 5. Инновации и рост: технологические изменения в промежуточном продукте
5.2
Технологические изменения: расширение разнообразия производственной продукции.
Модель Пола Ромера
Модель Пола Ромера показывает возможность существования устой чивого роста с постоянным темпом прироста на основе внедренного технического прогресса (эндогенного роста). Темп прироста зависит от поведенческих параметров: в базовом случае — от субъективной дисконтной ставки (ставка межвременного предпочтения полезности потребителя), а также от анализа параметров государственной поли тики. Технический прогресс выражается в расширении видов произ водственных (промежуточных) продуктов (горизонтальный тип тех нического прогресса), каждый из которых упрощенно идентифициру ется с определенной технологией. Источником покрытия затрат на НИОКР {research and development) выступает монопольная прибыль производителя промежуточного продукта, для получения которой он проводит финансирование исследований.
5.2.1
Базовые положения модели
Предполагается производственная функция типа Спенса, Диксита и Стиглица [Spence, 1976; Dixit, Stiglitz, 1977], включающая эффект рас ширения разнообразия промежуточных (инновационных) продуктов:
K = ^ L ' ~ " ^ X " |
—для дискретного множества товаров, |
(5-1) |
Y = AL'"^ \ xjdj |
— для непрерывного множества товаров, |
(5-2) |
120
5.2. Технологические изменения: расширение разнообразия производственной продукции
где а — эластичность выпуска по промежуточному товару, О < а < 1, const; L — объем труда, const; х — количество используемого у-го типа промышленных товаров; N^ — количество доступных в момент времени ^ типов промышленных товаров (технологий); А — параметр производительности сектора конечной продукции, const.
Физический капитал в модели равен сумме промежуточных то варов, каждый из которых полностью используется в одном произ водственном цикле и отождествлен с определенной технологией:
Л" |
|
K = \xjdj. |
(5-3) |
о |
|
Введя в модель предположение о ее симметрии относительно всех типов промежуточных продуктов, получаем
где р^ — цена промежуточного товара.
При условии симметрии физический капитал находится умно жением числа типов промежуточных продуктов на их количество:
K = Nxx. |
(5-4) |
Производственная функция конечного продукта при условии сим метрии выражается как функция вида Кобба — Дугласа с нейтраль ным, по Харроду, техническим прогрессом (который в соответствии с базовыми посылками модели представлен количеством доступных типов промежуточных продуктов):
Y = AЁ"^Nx^^=K^'AЁ-''N'^'^. |
(5-5) |
Инвестиции в соответствии с тождеством национальных счетов:
k = Y-C. |
(5-6) |
Цена единицы выпуска конечного продукта Y-p |
для простоты в мо |
дели равна единице. |
|
121
Глава 5. Инновации и рост: технологические изменения в промежуточном продукте
5.1.1
Производство конечного и промежуточного продукта
Сектор конечной продукции выражен стандартно и работает при ус ловии совершенной конкуренции.
Прибыль производителя конечной продукции выражается как
разность валовой выручки и издержек: |
|
Tiy = Y-wL-p^Nx. |
(5-7) |
В результате максимизации прибыли при условии совершенной конкуренции в секторе конечной продукции заработная плата и цена промежуточного продукта находятся следующим образом:
w={\-a)j, |
(5-8) |
А = « - - |
(5-9) |
Из (5-8) следует соотношение темпов прироста заработной пла ты и конечного выпуска: g^=gY-
Уравнение (5-9), полученное без предварительного предположе ния о симметрии всех типов продуктов, будет выглядеть следующим
образом: |
|
|
| ^ |
= ^aL'-«xf =/7,. |
(5-10) |
aXj |
|
|
Из полученного уравнения определяем функцию потребитель |
||
ского спроса нау-й тип промежуточного продукта: |
|
|
Xj |
= L А— |
(5-11) |
Промежуточный продукт — часть совокупного выпуска, при способленная производителем промежуточного продукта для инвес тиционного потребления, единственные его издержки связаны с при-
122
5.2. Технологические изменения: расширение разнообразия производственной продукции
обретением конечного продукта по единичной цене. Монопольным правом на производство промежуточного продукта обладает его про изводитель; это право он получает, покупая патент на производство продукта у научно-исследовательского сектора. Прибыль производи теля промежуточного продукта:
" . у = ( Л у - 1 Ь - |
(5-12) |
Монопольная цена производителя промежуточного продукта, по лученная путем максимизации прибыли или путем использования
формулы монопольной цены «издержки плюс»: |
|
|
Р^='->'- |
(5-13) |
|
Поскольку спрос и цена на все промежуточные продукты одина |
||
ковы, действует положение о симметрии. |
|
|
Спрос на промежуточную продукцию равен |
|
|
1 |
2 |
|
X = L^'-«a'-« = const. |
(5-14) |
|
Выпуск конечной продукции определяют по формуле |
|
|
I |
2 |
|
7 = yi'-«a'-«i7V. |
(5-15) |
|
Из зфавнения выпуска следует равенство темпа прироста выпуска конечной продукции темпу прироста технического прогресса: gy - SN-
Прибыль производителя промежуточного продукта:
I 1+а |
|
я^ = (l-a)L^'-«a'-« = const. |
(5-16) |
5.2.3
Патент и научно-исследовательский сектор
Патент — это монопольное право на использование определенной технологии, произведенной научно-исследовательским сектором и проданное производителю промежуточной продукции. Патент явля ется активом, и его доходность выравнивается с процентной ставкой.
123
Глава 5. Инновации и рост: технологические изменения в промежуточном продукте
Цена патента выражается как сумма потока будущей дисконти рованной прибыли, которую он принесет монопольному владельцу. Изменение цены во времени можно получить, дифференцируя урав нение стоимости патента по времени:
q = K^je ' ds; |
(5-17) |
(
~ |
-\r,dv |
|
q = -K^+riK\e |
' ds = -n^ + r,q. |
(5-18) |
Из (5-18) следует арбитражное уравнение:
г = - |
+ ^. |
(5-19) |
q |
q |
|
Произьодственная функция научно-исследовательского сектора вводится в модель в зависимости от объема труда в секторе и имею щегося объема разработок, которые используются для аналоговых но вых технологий (зависимость от накопления физического капитала рассматривается как незначительная, физический капитал научно-ис следовательского сектора включен в константу производительности):
N = bL,^^N, |
(5-20) |
где b — параметр производительности в секторе R&D, константа; L — объем труда в секторе R&D; N — внешний эффект от имеющегося количества типов промежуточных продуктов (технологий).
Прибыль в секторе R&D составит
^R&D =Щ- ^L„^D = bLj,s,D^q - wL^^^. |
(5-21) |
При совершенной конкуренции в научно-исследовательском сек торе цена патента равна предельным издержкам инноватора:
? = — = const = Г1. |
(5-22) |
124
5.2. Технологические изменения: расширение разнообразия производственной продукции
5.2.4
Решение модели
Введем в модель оптимизацию поведения домашнего хозяйства по отношению к потреблению и сбережениям. Задача оптимизации ре шается как стандартная задача динамической оптимизации полезнос ти потребителя — задача Рамсея.
Функция полезности с постоянной эластичностью замещения:
1-е |
|
U = ^e-'"^—dt. |
(5-23) |
оi~""
Максимизация полезности (задача Рамсея) дает следующее ус ловие устойчивого темпа прироста:
^ = 1 ( г - р ) . |
(5-24) |
с 6 |
|
Устойчивый темп прироста основных переменных модели равен постоянной величине (монопольная прибыль и цена патента — по стоянны):
_ 1 |
— р =const. |
(5-25) |
ёс ~ Sr" ёк ~ д |
Таким образом, существует эндогенный рост с постоянным тем пом, достигаемый за счет технического прогресса — производства инноваций в научно-исследовательском секторе.
Полученное условие можно выразить через константы модели, подставив в (5-25) монопольную прибыль, ставку заработной платы и цену патента.
Отношение монопольной прибыли к цене патента: |
|
||
71 |
{\-a)aYlN |
(X-aSaYlN |
|
- |
= |
^ Ч-л— 4v . = «*^- |
(5-26) |
|
bN |
'ш |
|
125
Глава 5. Инновации и рост: технологические изменения в промеж:уточном продукте
Подставив полученное выражение в (5-25), получим: |
|
ёс=ёу=§к=-{^Ь1-р) = const. |
(5-27) |
и |
|
Равновесный устойчивый рост зависит от соотношения отдачи актива модели — патента, приносящего монопольную прибыль, и субъективной дисконтной ставки. При превышении отдачи патента рост будет положительным и эндогенным, так как зависит от пове денческого параметра. В модель можно ввести зависимость и от ин ституционального параметра — ставки налога, являющегося инстру ментом государственной экономической политики.
Эластичность замещения функции полезности, как и в других моделях с оптимизацией потребления, — это коэффициент, увеличи вающий или уменьшающий действие разности отдачи и субъектив ной дисконтной ставки на устойчивый темп прироста.
Отдача патента, а следовательно, и устойчивый равновесный рост, зависит от коэффициента а, отражающего долю монопольной прибыли в общем объеме выпуска:
р,К = aY. |
(5-28) |
Следовательно, чем выше доля монопольной прибыли, тем боль ше экономический рост. В модели эта взаимосвязь достигается за счет того, что монопольная прибыль полностью поступает на финансиро вание научно-технического прогресса, который, в свою очередь, оп ределяет устойчивый рост.
Отдача патента зависит также от коэффициента производитель ности научно-исследовательского сектора, что непосредственно ска зывается на темпе технического прогресса и соответственно устойчи вом росте.
Отдача соотносится с объемом труда в конечном секторе. Эту связь легко объяснить: во-первых, монопольная прибыль зависит от объема труда в конечном секторе; во-вторых, устойчивый рост пред полагает фиксированное соотношение между долями труда в секто рах конечной продукции и научно-исследовательского, следователь но, больший объем труда в одном из них соответствует большему
J26
5.2. Технологические изменения: расширение разнообразия производственной продукции
объему в другом. Уравнение (5-27) можо выразить через объем труда в научно-исследовательском секторе.
5.2.5
Оптимальный рост в модели
Оптимальный с точки зрения благосостояния всего общества рост можно получить путем максимизации полезности социальным пла нером, действующим в интересах общества в целом, по отношению к заданным ограничениям инвестиций в физический капитал, ограни чению сектора технического прогресса и ограничению распределения труда. Общая динамическая задача может быть выражена следующим образом (все зфавнения и обозначения введены выше, симметрия про дукта сохраняет свое значение):
maxj^^e""'^/ |
|
(5-29) |
о1-е |
|
|
относительно |
|
|
k = Y-C = K'^ALYN'-'' |
- С, |
(5-30) |
N = bL„N, |
|
(5-31) |
Ly+L,<L, |
|
(5-32) |
А:„,Л^О даны.
Функцию Гамильтона для динамической задачи можно записать
следующим образом: |
|
J = ^e-<" +X{Y-C) + iibL,+x{Ly + L,-L). |
(5-33) |
1 — о |
|
Условия максимума первого порядка для данной задачи, где уп равляющими параметрами выступают потребление и объемы труда в секторах экономики (C,Z-j,,Zj,), а фазовыми координатами — физи ческий капитал и количество типов промежуточных продуктов (К, N), очевидно, следующее:
127
Глава 5. Инновации и рост: технологические изменения в промежуточном продукте
а/ |
--0, |
(5-34) |
|
дс' |
|
|
|
dj |
|
(5-35) |
|
dLy '= 0, |
|||
|
|||
dJ |
= 0, |
(5-36) |
|
|
-к |
(5-37) |
|
dJ _ |
-ц. |
(5-38) |
|
dN |
|||
|
|
||
Соответственно условия решения задачи максимизации будут сле |
|||
дующими: |
|
|
|
СЛ-Р'=?1, |
(5-39) |
||
X{\-a)YlLy=-x, |
(5-40) |
||
\ibN = -yi, |
(5-41) |
||
XaY/K |
= -X, |
(5-42) |
|
X{\-a)Y/N + iibLi,=-ii. |
(5-43) |
||
Из уравнений (5-40) и (5-42) можно получить условия решения за дачи Рамсея, выразив через предельный продукт физический капитал (константа, поскольку обьем труда в секторах может быть только посто янным при устойчивом росте, а остальные величины также постоянны):
g,,,=gc=^ = ^{o.Y/K-p). |
(5-44) |
Из уравнений (5-40) и (5-41) очевидно, что темпы прироста со пряженных переменных ^ и (х равны, поскольку объем труда в секто ре конечной продукции может быть только постоянным при устойчи вом росте, а темпы прироста выпуска и технического прогресса все гда равны.
128
5.2. Технологические изменения: расширение разнообразия производственной продукции
Из этих же уравнений находим и отношение сопряженных пере менных ^ и ц:
^x (l - a)r/L,, Преобразуя уравнение (5-45), получаем:
-{\-a)YlN |
+ bL^=-^. |
(5-46) |
Подставив в (5-46) отношение сопряженных переменных X и ц, получим:
—-^^i-—(l-a)YlN |
+ bL, =-^, |
(5-47) |
(l-a)7/Ly |
и |
|
bLy+bL^=-^. |
|
(5-48) |
Поскольку темпы прироста сопряженных X и ц равны, а из (5-42) следует, что темп прироста сопряженной переменной X со зна ком минус равен предельному продукту физического капитала, мож но заменить последний в уравнении (5-44):
Sop, =-Q{bLY+bL^-p)^-{bL-p). |
(5-49) |
Очевидно, что полученная величина оптимальна с точки зрения общества больше, чем ранее выведенное выражение для равновесно го устойчивого экономического роста.
Различие заключается, во-первых, в отсутствии в выражении отдачи коэффициента а, поскольку общество учитывает не только объем монопольной прибыли, но и весь объем выпуска. Во-вторых, учитывается отдача всего труда, а не только того, который определяет монопольную прибыль. Уровень финансирования научно-техничес кого сектора выше уровня определения отдачи всего общества, и со ответственно экономический рост должен быть выше при оптимиза ции с точки зрения всего общества в целом. Это означает, что данная
129