Компьютерная алгебра
1. Системы компьютерной алгебры
Краткая история символьных вычислений
Зюзьков Валентин Михайлович |
2 |
Краткая история символьных вычислений
История математики до компьютерной эры содержит много примеров трудоемких вычислений.
Некоторые вычисления сводились к сложным и громоздким преобразованиям формул,
другие вычисления использовали небольшие формулы, но требовали выполнения операций с большим количеством цифр в числах.
Великий Леонард Эйлер (1707 – 1783) был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид (например, ему принадлежат обозначения для е и ).
Наглядными примерами мастерства Эйлера служат его вычисление суммы обратных квадратов и получение необычайной формулы, связывающей суммы делителей натуральных чисел [[1], стр. 39–43, 11–122].
[1] Пойа Д. Математика и правдоподобные вычисления. – М.: «Наука», 1975. – 464 с.
Зюзьков Валентин Михайлович |
3 |
Краткая история символьных вычислений
В 19 веке очень много вычислений было проделано в астрономии.
Например, французский математик Урбен Леверье проводил расчет орбиты Нептуна. Расчет был основан на аналитических вычислениях возмущенной орбиты Урана. И этот расчет собственно и привел к открытию Нептуна.
Зюзьков Валентин Михайлович |
4 |
Краткая история символьных вычислений
•Впечатляющие вычисления с карандашом и бумагой проделал французский астроном Чарльз- Евгений Делоне для вычисления орбиты Луны.
•Он вывел около 40000 формул. На их вывод потребовалось 10 лет и еще 10 лет ушло на проверку формул. Окончательная формула занимала 128 страниц его книги с результатами работы.
•Проверка его аналитических преобразований было проведена двумя американскими математиками с помощью компьютера в 70-е годы 20 века. Компьютеру потребовалось двое суток работы.
Зюзьков Валентин Михайлович |
5 |
Краткая история символьных вычислений
Большие усилия тратили математики на определение, числа , вручную вычисляя большое количество цифр.
Так, например, наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом.
Он потратил 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из- за ошибки только первые 527 были верными. Он использовал формулу Мэчина (Johm Machin, 1680 – 1751) .
Ошибку Шенкса обнаружил в 1944 году Фергюсон; он считал по формуле, подобной формуле Мэчина на настольном механическом калькуляторе.
Зюзьков Валентин Михайлович |
6 |
Краткая история символьных вычислений (near)
Ворон
|
|
… |
|
|
|
And the silken, sad, uncertain rustling of |
|
|
|
each purple curtain Thrilled me - filled |
|
|
|
me with fantastic terrors never felt |
|
|
|
before; So that now, to still the beating |
|
|
|
of my heart, I stood repeating "Tis |
|
|
|
some visiter entreating entrance at my |
|
|
|
chamber door - Some late visiter |
|
|
|
entreating entrance at my chamber |
|
|
|
door; - This it is and nothing more." |
|
Э |
Э |
… |
|
Эдгар Аллан По (1809 -1849) — |
Шелковый тревожный шорох в |
|
|
|
американский писатель, поэт, |
|
|
|
пурпурных портьерах, шторах |
|
|
|
является представителем |
|
|
|
Полонил, наполнил смутным ужасом |
||
|
американского романтизма. |
||
|
меня всего, И, чтоб сердцу легче |
|
|
|
Наибольшую известность |
|
|
|
стало, встав, я повторил устало: |
|
|
|
получил за свои «мрачные» |
"Это гость лишь запоздалый у |
|
|
рассказы. Создатель формы |
порога моего, Гость какой-то |
|
|
современного детектива. |
запоздалый у порога моего, Гость - и |
|
|
|
больше ничего". |
|
|
|
… |
|
|
|
Перевод Ю. Зенкевича |
|
|
Зюзьков Валентин Михайлович |
7 |
|
Краткая история символьных вычислений (near)
Mike Keith (born 1955) is an American mathematician, software engineer, and author of works of constrained writing
Poe, E. Near a Raven
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore. During my rather long nap - the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber's antedoor. "This", I whispered quietly, "I ignore".
Perfectly, the intellect remembers: the ghostly fires, a glittering ember. Inflamed by lightning's outbursts, windows cast penumbras upon
this floor.
Sorrowful, as one mistreated, unhappy thoughts I heeded: That inimitable lesson in elegance - Lenore -
Is delighting, exciting...nevermore.
Ominously, curtains parted (my serenity outsmarted),
And fear overcame my being - the fear of "forevermore". Fearful foreboding abided, selfish sentiment confided,
As I said, "Methinks mysterious traveler knocks afore. A man is visiting, of age threescore”.
………………………………………………………
3.14159265358979323846264338327950288419
716939937510582097494459230781640628
620899862803482534211706798214808651
3282… Всего 740 цифр
Зюзьков Валентин Михайлович |
8 |
Краткая история символьных вычислений
Вначале 50-х годов стали появляться первые программы, производящие частично аналитические вычисления.
В1951 году с помощью компьютера EDSAC 1 было открыто наибольшее известное простое число – 180(2^127 – 1)^2 + 1
=
5210644015679228794060694325390955853335898483908056458
352183851018372555735221 (79 цифр)
По состоянию на 29 августа 2014 года, наибольшее известное простое число равняется
,
и содержит 17 425 170 десятичных цифр. Найдено 25 января 2013 года математиком Кертисом Купером, участником проекта распределенных вычислений GIMPS (Great Internet Mersenne Prime
Search); это 48-е простое число Мерсенна. Простое число длиной в пять романов «Война и мир».
Зюзьков Валентин Михайлович |
9 |
Краткая история символьных вычислений
,
•В 1952 году математики Эмиль Артин и Джон фон Нейман проделали большие вычисления, связанные с эллиптическими кривыми, на компьютере MANIAC.
•В 1953 было показано, как алгоритмы в теории групп могут быть реализованы на компьютере.
Зюзьков Валентин Михайлович |
10 |