Mathematica / Глава 4. Евклидовы и факториальные кольца

Проверим:

Expand[f u + g[x] v == d]

True

Теперь остается только вычислить искомое значение

И проверка говорит о правильном преобразовании

Simplify[e1 == e2]

True

Нахождение gcd в кольце Z[i]

Функция GCD в Mathematica также находит наибольший общий делитель для целых гауссовых чисел:

GCD[– 10 + 8 I, 5 – 4 I]

4 + 5 I

Пусть w = x + y i есть наибольший общий делитель двух целых гауссовых чисел z1 и z2, тогда, по определению, ассоциированные числа –w, iw, –iw также являются gcd(z1,

z2).

Mathematica из четырех значений выдает то, у которого вещественная и мнимая часть неотрицательны:

GCD[{1, – 1, I, – I} (– 10 + 8 I), 5 – 4 I]

{4 + 5 I, 4 + 5 I, 4 + 5 I, 4 + 5 I}

Функция ExtendedGCD находит расширенный наибольший общий делитель для целых гауссовых чисел:

ExtendedGCD[– 10 + 8 I, 5 – 4 I]

{4 + 5 I, {0, 1}}

§3. Простые элементы и факториальные кольца

3.1.Элемент a из кольца R называется неприводимым, если он не является ни нулевым, ни обратимым и если каждое b, делящее a, есть либо единица, либо является элементом ассоциированным c a.

Если кольцо R без делителей нуля, то a – неприводимый элемент тогда и только тогда, когда из a = bc следует, что b или c – обратимый элемент в R.

В поле каждый ненулевой элемент обратим, и, следовательно, там отсутствуют неприводимые элементы.

3.2.Элемент p называется простым, если он не единица

ииз того, что p|ab, следует p|a или p|b.

Теорема 3.3. В целостном кольце R простой элемент является неприводимым.

Утверждение, обратное теореме 3.3, в общем случае не имеет место.

Пусть R – кольцо Z[i 5 ], т. е. кольцо комплексных чисел вида a + ib 5 , где a, b Z.

В кольце Z[i 5 ] число 3 неприводимо, но не простое, потому что 9, квадрат 3, может быть факторизовано двумя

решений.

Но для колец Z, Z[i] и R[x] неприводимый элемент является простым.

Теорема 3.4. Пусть R – евклидово кольцо. Элемент p неприводим в R тогда и только тогда, когда он простой в R.

3.5. Говорят, что целостное кольцо R – кольцо с

разложением на неприводимые множители, если любой элемент a ≠ 0 из R можно представить в виде

где u – обратимый элемент, а p1, p2, …, pr – неприводимые элементы (не обязательно попарно различные).

Кольцо R называется кольцом с однозначным разложением на неприводимые множители (или

факториальным кольцом), если для каждого ненулевого элемента R разложение (5) единственно с точностью до ассоциированных элементов,

точнее: из существования другого такого разложения

a = vq1q2…qs следует, что r = s и при надлежащей нумерации элементов pi и qj будет

q1 = u1p1, q2 = u2p2, …, qr = urpr,

где u1, u2, …, ur – обратимые элементы.

Заметим, что если p – неприводимый, а u – обратимый элемент, то ассоциированный с p элемент up тоже неприводимый.

Часто говорят, что о разложении на простые множители, а не на неприводимые. Эта терминология вполне допустима, так как в факториальные кольцах из неприводимости элементов следует их простота.

Лемма 3.6. Всякое евклидово кольцо R является кольцом с разложением (т.е. любой ненулевой элемент из R записывается в виде (5).

Лемма 3.7. Пусть R – произвольное целостное кольцо с разложением на простые множители. Однозначность разложения в R (факториальность R) имеет место тогда и только тогда, когда свойства неприводимости и простоты элементов в R равносильны.

Теорема 3.8. Всякое евклидово кольцо R факториально (т.е. обладает свойством разложения на простые множители).

Доказательство следует из леммы 3.6, теоремы 3.4 и леммы 3.7.

Следствие 3.9. Кольца Z, Z[i] и R[x] (R – поле) факториальны.

Теорема 3.10. Если R есть факториальное кольцо, то и кольцо многочленов R[x] факториально.

Следствие 3.11. Кольцо многочленов Z[x] факториально.