Mathematica / Глава 4. Евклидовы и факториальные кольца

Господь сотворил целые числа; остальное – дело рук человека.

Леопольд Кронекер

Глава 4. Евклидовы и факториальные кольца

В этой главе мы будем рассматривать, как компьютерная алгебра помогает изучать свойства колец Z, Q, Z[i], Q[x] и Z[x], связанные с делимостью.

§ 1. Евклидовы кольца

Начнем с деления в Z, так как понятия, связанные с делимостью в различных кольцах, являются обобщением и развитием понятий для целых чисел.

В системе Mathematica функция Divisible[m, n] выдает

True, если n делитель m, иначе результат False. Функция работает с целыми числами любого размера, рациональными числами, точными вещественными и численными величинами в символьной форме.

Divisible[10000!, 772223]

True

Divisible[10000!, 10007]

False

Divisible[3/4, 1/4]

True

Divisible[Sqrt[8], Sqrt[2]]

True

FullSimplify[Divisible[2x, x], x Integers]

True

Теорема 1.1. Для целых чисел a и b≠0 существуют единственные целые q и r такие, что a = q b + r и

0 ≤ r ≤ |b| – 1.

Доказательство. Ясно, что одно представление числа a равенством a = q b + r мы получим, если возьмем q b равным наибольшему кратному числа b, не превосходящему a.

Тогда, очевидно, 0 ≤ r ≤ |b| – 1. Докажем единственность такого представления. Пусть a = q b + r и a = q1 b + r1 – два таких представления. Значит,

0 = a – a = q b + r – q1 b + r1 = b (q – q1) + r – r1.

Здесь 0 делится на b; b (q – q1) делится на b, следовательно,

r – r1 обязано делится на b. Так как 0 ≤ r ≤ |b| – 1 и 0 ≤ r1 ≤ |b| – 1, то r – r1 < b и r – r1 делится на b, значит r – r1 равно нулю, а значит, и q – q1 равно нулю, т.е. два таких

представления совпадают. ♦

1.2.Число q называется неполным частным, а число r

–остатком от деления a на b.

Очевидно, остаток от деления a на b равен нулю тогда и только тогда, когда b – делитель a.

Иногда мы будем использовать обозначения a mod b для r.

Так как для вещественных чисел широко используется функция «целая часть» (другое название «пол») x – наибольшее целое число, не превосходящее x,

то неполное частное q можно представить как a/b .

Пример 1.3. Имеем

8 = q 3 + r = 2 3 + 2,

8 = q (–3) + r = (–2) ( –3) + 2, –8 = q 3 + r = (–3) 3 + 1,

–8 = q (–3) + r = 3 ( –3) + 1.

Пример 1.4. В системе Mathematica частное и остаток вычисляются с помощью функций Quotient[a, b] и Mod[a, b], и остаток выбирается так, чтобы выполнялись свойства

|r| ≤ |b| – 1 и r b ≥ 0. Поэтому имеем

8 = q 3 + r = 2 3 + 2,

8 = q (–3) + r = (–3) ( –3) – 1, –8 = q 3 + r = (–3) 3 + 1,

–8 = q (–3) + r = 2 ( –3) – 2.

Таким образом, Quotient[a, b] и Mod[a, b] совпадают с математическим определением q и r только тогда, когда

b > 0.

Функции Quotient[a, b] и Mod[a, b], также как и Divisible,

работают не только с целыми аргументами.

Понятия, связанные с делимостью, являются обобщением

иразвитием понятий для целых чисел.

Вкольце Z делителей единицы два: 1 и –1. Ассоциированными элементами могут быть только пары ненулевых чисел a и –a.

Рассмотрим кольцо Z[i].

1.5. Определим норму для гауссова числа a + bi как квадрат его модуля:

N(a + bi) = a2 + b2 = (a + bi) (a – bi).

Очевидно, норма равна нулю только для нуля. В остальных случаях норма – положительное число.

Норма обладает важным свойством

мультипликативности:

N(u v) = N(u)N(v).

Отсюда также сразу следует, что обратимыми элементами кольца (делителями единицами) являются только те элементы, у которых норма равна 1, то есть {1, −1, i, −i}.

Все гауссовы числа делятся на делители единицы, поэтому любое гауссово число, отличное от делителей единицы, имеет как минимум 8 делителей:

4 делителя единицы и 4 их произведения на само это число. Эти делители называются тривиальными.

Для числа z = a + bi ассоциированными числами в Z[i] являются w = εz, где ε – делитель единицы. Поэтому ассоциированными для z = a + bi являются четыре комплексных числа

z = a + bi, iz = –b + ai,

–z = –a – bi,

–iz = b – ai.

1.6.Несколько простых свойств деления в Z[i]:

•Все делители гауссова числа z являются также делителями

его нормы N (z) = z z.

• Если гауссово число u нацело делится на гауссово число v, то и норма N(u) (в силу мультипликативности) делится нацело на N(v).

Из мультипликативности нормы в Z[i] следует, что Z[i] является целостным кольцом.

Для кольца Z[i] Mathematica использует такую же функцию Divisible, как и для целых чисел:

Divisible[3 + I, 2 – I]

True

(3 + I) / (2 – I)

1 + I

Пусть R – кольцо. Рассмотрим кольцо многочленов R[x].

Совершенно очевидно, что многочлен f R[x] обратим в точности тогда, когда deg(f ) = 0 и f = f0 – обратимый элемент кольца R, поскольку fg = 1 влечет deg(f ) + deg(g) = = deg(1) = 0.

Поэтому ассоциированность многочленов f, g R[x] означает, что они отличаются лишь обратимым множителем из R.

Если R – целостное кольцо, то R[x] также является целостным кольцом.

В качестве R мы можем взять кольца Z, Q, R и C.

Деление с остатком в Z можно обобщить для целостных колец определенного вида.

1.7. Рассмотрим целостное кольцо R, в котором каждому элементу a ≠ 0 поставлено в соответствие неотрицательное целое число δ(а), т.е. определено отображение

δ: R\{0} = R* → N0

так, что при этом выполняются условия:

Е1) δ(ab) ≥ δ(a) для всех a, b ≠ 0 из R;

Е2) каковы бы ни были a, b R, b ≠ 0, найдутся q, r R (q – « частное», r – «остаток»), для которых

Целостное кольцо R с этими свойствами называется евклидовым кольцом. А операция, которая для данных a, b R, b ≠ 0, находит частное и остаток, называется евклидовым делением. Отображение δ называют

евклидовой нормой.

Как мы уже знаем (теорема 1.1), Z – евклидово кольцо с

δ(a) = |a| для a Z.