199_Линейная алгебра и аналитическая геометрия

в) уравнение прямой в отрезках

l: x y 1, a b

где а – абсцисса, b – ордината точек пересечения прямой с осями Ox и Oy соответственно;

г) уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1),

M2(x2,y2)

д) уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0,y0) в данном направлении

l: y – y0 = k (x – x0), k – угловой коэффициент.

4. Взаимное расположение двух прямых y = k1x + b1 и y = k2x + b2:

а) угол между прямыми:

tg = k2 k1 , где k1 и k2 – угловые коэффициенты этих прямых;

1 k1 k2

– угол, на который нужно повернуть первую прямую против часовой стрелки до совпадения со второй прямой;

б) признак параллельности двух прямых: k1 = k2;

в) признак перпендикулярности двух прямых: k2 1 .

k1

5. Расстояние от точки M0(x0,y0) до прямой Ax + By + C = 0 находится по формуле

d Ax0 By0 C .

A2 B2

Пример 2. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–1, 2), В(3, 8), С(7, 4). Hайти: 1) систему неравенств, определяющих множество точек треугольника АВС; 2) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 3) уравнение высоты AD и ее длину; 4) уравнение медианы BE и координаты точки F пересечения этой медианы с высотой AD; 5) уравнение окружности, для которой высота AD есть диаметр.

Решение.

1. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, для которых она является общей границей. Если граница определяется уравнением ax + by + c = 0, то полуплоскости определяются неравенствами:

ax + by + c 0 и ax + by + c 0.

Выбрав произвольную точку М, не принадлежащую границе, подставим ее координаты в одно из данных неравенств; если неравенство удовлетворяется, то оно определяет полуплоскость, содержащую точку М, а если не удовлетворяется, то полуплоскость, не содержащую точку М. Очевидно, множество точек треугольника АВС можно рассматривать как пересечение трех полуплоскостей, из которых первая ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, третья ограничена прямой СА и содержит точку В. Уравнение прямой, проходящей через точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2), имеет вид

Отсюда уравнения прямых АВ, ВС, СА:

Подставляя в левую часть уравнения АВ координаты точки С, получим 2 4 – 3 7 – 7 < 0. Следовательно, первое искомое неравенство, которое определяет полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, будет 2x – 3y – 7 0.

Аналогично, вторая полуплоскость определяется неравенством y + x – 11 0, а третья – неравенством 4y – x – 9 0.

Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:

2y 3x 7 0,

y x 11 0,4y x 9 0.

2. Решая уравнение прямой относительно y, получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нашем случае

откуда KAB = 3 , KBC = –1.

2

Известно, что тангенс угла между двумя прямыми с угловым коэффициентом K1 и K2 определяется по формуле

1 K1 K2

Имеем К1 = KAВ = 3 , К2 = KBC = –1. Находим тангенс угла В:

2

3. Ранее было найдено, что KBC = –1. Отсюда KDA = 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

y – y1 = K (x – x1).

Подставив в это уравнение координаты точки А и найденный угловой коэффициент высоты, получим уравнение прямой AD: y – 2 = 1 (x + 1), или y = x + 3.

Длину высоты AD найдем как расстояние от точки А до прямой ВС по формуле

d | ax0 by0 c| .

a2 b2

За (x0,y0) возьмем координаты точки А, а ax + by + c = 0 – уравнение прямой ВС. Вычислим:

AD 1 1 1 2 11 10 52 .

Решение. Чтобы найти уравнение биссектрисы BN, найдём длины сторон ВС и ВА по формуле d (x2 x1)2 (y2 y1)2 .

BC (0 7)2 (15 9)2 25,

BA (9 7)2 (3 9)2 20.

По известному из школы свойству биссектрисы BC CN ;

BA NA

25 5 . 20 4

Найдём координаты точки N как точки, делящей отрезок AC в соотношении :

BN.

Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точ-

ку B( 6, 4) перпендикулярно прямой, содержащей точки

A( 10,1) , C(6,1).

Решение. Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом y kx b . Тогда угловой коэффициент

уравнение прямой, ей перпендикулярной, имеет вид: x 6 . (Замечание. Иначе, когда угловой коэффициент не равен 0, задача несколько усложняется. Угловой коэффициент прямой, ей пер-

пендикулярной, равен ( 1). Уравнение перпендикулярной пря- k

мой y yB 1 (x xB )). k

§6. Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение плоскости Q, проходящей через точку М0(x0, y0 ,z0) перпендикулярно вектору n = (A, B, C), имеет вид

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

n называется нормальным вектором плоскости.

Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0 ,z0) параллельно векторам a1 = (l1, m1, n1) и a2 = (l2, m2, n2), может быть представлено в следующем виде:

Уравнение плоскости, проходящей через точки М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2) параллельно вектору a = (l, m, n):

Уравнение плоскости, проходящей через точки М1(x1, y1, z1),

М2(x2, y2, z2), М3(x3, y3, z3):

Для двух плоскостей, заданных уравнениями

Q1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и Q2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 1) условие параллельности

Q1 || Q2 A1 B1 C1 ;

A2 B2 C2

2) условие перпендикулярности

Q1 Q2 A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0; 3) угол между плоскостями

Прямая l в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей

l: A1x B1y C1z D1 0, – общие уравнения прямой.

A2x B2 y C2z D2 0.

Уравнения прямой l, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) параллельно вектору S = (m, n, p),

x x0 y y0 z z0 , называются каноническими уравнениями

m n p

прямой. Вектор S называется направляющим вектором прямой. Замечание. Канонические уравнения прямой имеют смысл и в том случае, когда одна или две координаты направляющего вектора обращаются в нуль.

Для двух прямых, заданных каноническими уравнениями,

1) условие параллельности

L1 || L2 S 1 || S 2 m1 n1 p1 ;

m2 n2 p2

2) условие перпендикулярности

L1 L2 S 1 S 2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0;

3) угол между прямыми

Для плоскости Q: Ax + By + Cz + D = 0

и прямой L: x x1 y y1 z z1

m1 n1 p1

1) условие параллельности

Q || L N S A m + B n + C p = 0; 2) условие перпендикулярности

Q L N || S A B C .

m n p

Расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 находится по формуле

d | Ax0 By0 Cz0 D | .

A2 B2 C2

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через

Пример 6. Найти точку M(x0, y0,z0), симметричную относитель-

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку N и

перпендикулярной прямой l: (x 0) (y 3) (z 2) 0 или

x y z 1 0. Найдём координаты точки А пересечения этой плоскости с прямой l. Для этого запишем уравнения прямой в

x t 1

параметрическом виде: y t 1,5, и подставим их в уравнение

z t

А – является основанием перпендикуляра, опущенного из точки

ки M(x0, y0,z0). По условию задачи сумма векторов АN АM 0 ,

тогда

§7. Канонические уравнения кривых второго порядка

Приведем канонические (простейшие) уравнения кривых второго порядка и их графики в виде следующей таблицы.