Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

457.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

277. r 3 2 cos .

279. r2 cos 2 .

281. r2 9sin 2 .

283. r sin 2 .

285. r 3cos 2 .

287. r sin 3 .

289. r cos 4 .

291. r 4 , 4 , . 293 r , 2 , 2 . 295. r e , , .

278.	r 4 2 cos .
280.	r2	sin 2 .
282.	r2	4 cos 2 .
284.	r cos 2 .
286.	r 4sin 2 .
288.	r cos 3 .
290.	r sin 5 .
292.	r		2	, , 2 .
292.	r			, , 2 .
				3
294.	r		1	, ,	3	.
294.	r			, ,	2	.
					2
296.	r e , 0 , 2 .

2.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть кривая L определяется уравнением y f (x) , x a,b в декартовой системе координат. Длина дуги кривой равна:

dx .

1 ( y )

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x (t) , t T ,T ,

y (t)

тогда l

dt .

(x (t))

( y (t))

Пусть теперь кривая L задана уравнением в полярной системе коор-

динат r r( ) ,

, , тогда l

d .

r ( )

Вычислить длину кривой:

297.y x2 1, отсеченной прямой y 0 .

298.y x2 4 , отсеченной прямой y 0,5 .

299.y2 (x 1)3 , отсеченной прямой x 4 .

300.y2 x3 , отсеченной прямой x 43 .

301.y2 94 (2 x)3 , отсеченной прямой x 1.

302.y2 23 (x 1)3 , заключенной внутри кривой y2 3x .

				3			12				y 2x		2	ln x	, x 1,3
303.	y ln x , x				4	,	5	.	304.		y 2x			ln x	, x 1,3
					4		5		1		1			4
305.	y	x x	2	arcsin					1	,	1
305.	y	x x		arcsin					x , x	,	4	.
									9		4


306.	x2 y2			a2 .		307. x2 y2	5 .
		x	e		x	x 2, 2 .
308.	y e 2		e		2 ,	x 2, 2 .

309.9 y2 x(x 3)2 , между точками пересечения с осью абсцисс.

310.y ln(1 x2 ) , x 0,5;0,5 .

311.	x a (t sin t)										, t 0, 2 – арка циклоиды.
311.											, t 0, 2 – арка циклоиды.
	y a (1 cost)
							3	t
312.	x a cos							t	, астроида.
312.						3			, астроида.
						3		t
	y asin							t
			2
	x t									, между точками пересечения с осью Ox .
313.		t			2					, между точками пересечения с осью Ox .
	y			(t			3)
	y	3		(t			3)
		3

		t		6
	x	t
314.			6					, между точками пересечения с осями координат.
314.						t 4		, между точками пересечения с осями координат.
						t 4
	y	2
	y	2				4
						4
		t		3
	x	t
315.			3					, между точками пересечения с осью Ox .
315.			3			t 2		, между точками пересечения с осью Ox .
						t 2
	y	4
	y	4				2
						2
		t		3
	x	t
316.			3						, между точками пересечения с осью Ox .
316.			3				t 2		, между точками пересечения с осью Ox .
							t 2
	y	24
	y	24					2
							2
317.	r 3 cos										318. r 1 cos
319.	r 1 sin										320. r 1 cos
	r	1										r	, ,3 .
321.				,						, 2 .	322.
321.				,					2	, 2 .	322.
									2
323.	r a sin3 .										324. r 3sin			3 , , 2 .
							3							3
325.	r e ,				0, 2 .						326.	r e2 ,
325.	r e ,				0, 2 .						326.	r e2 ,		0,	2	.
															2
327.	r e 3 , 0, 2 .										328.	r aem , , 2 .

2.4. Вычисление объема тела вращения

Пусть некоторое тело T получилось в результате вращения криволинейной трапеции, образованной кривой y f (x) , x a,b , вокруг оси

Ox . Тогда объем тела T равен: v y2dx .

Пусть некоторое тело T получилось в результате вращения криволинейной трапеции, образованной кривой x f ( y) , y c, d вокруг оси

Oy . Тогда v x2dy .

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривыми:

		x	, x 0, 2 .						y cos x ,				x
329.	y sin							330.								2	,0 .
329.	y sin	2						330.									,0 .
		2
	y 2cos 2x , x												x		x 0,3 .
331.				4	,	4	.	332.		y 3sin				,
331.					,		.	332.		y 3sin			3	,
											x		3
333.	y2 2x ,		x 8 .					334.	y	2	x	, x 4 .
333.	y2 2x ,		x 8 .					334.	y	2		, x 4 .
										2

335.xy 4 , x 1, x 4 , y 0 .

336.xy 6 , x 2 , x 6 , y 0 .


		x			x
337.	y a e		a	e	a	, x a ,	y 0 .
	2
	2

338.

y 2

x 4 ,

y 0 .

339.

x2 y2

a2 ,

x 2a .

340. 4x2 y2

a2 ,

x 2a .

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной кривыми:

341.

y b .

342.

4 , y 2 .

343.

1 .

344.

4 x , x 0 .

345.

y x3 ,

x 0 ,

y 8 .

346.

y x3

, x 0 , y 27 .

347. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox :

( y a)2 ax , x 0 , y 2a .

348. Вычислить объем тела вращения вокруг прямой x 2 :

y x2 , y 4 .

349.Вычислить объем тела вращения вокруг прямой x a криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды

xa(t sin t) , y a(1 cost) .

350.Вычислить объем тела вращения вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды

x a(t sin t) , y a(1 cost) .

2.5. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая L задана явным уравнением y f (x) , x a,b . То-

гда площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Ox , равна:

	b
	S 2 y 1 ( y ')2 dx .
	a
			d
При вращении вокруг оси Oy :		S 2 x( y)		1 (x ')2 dy .
			c
Пусть теперь кривая L задана параметрическими уравнениями
	x (t)		, t T ,T ,
			1 2
	y (t)
T2
тогда S 2 y(t)	(x ')2 ( y ')2 dt (вокруг оси Ox ),
T1
T2
S 2 x(t)	(x ')2 ( y ')2 dt (вокруг оси Oy ).

Вычислить площадь поверхности, полученной от вращения кривых: 351. y x2 , x 0,4 , вокруг оси Oy .

352. y	x2	, y 1.5 , вокруг оси Oy .
	2

353.x2 y2 R2 , вокруг оси Oy .

354.x2 y2 R2 , вокруг оси Ox .


	y a				x	e	x	x a , вокруг оси Ox .
355.	y a		e a			e	a ,	x a , вокруг оси Ox .
	2
	2
356.	y	x3		,	x 2,2 , вокруг оси Ox .
356.	y			,	x 2,2 , вокруг оси Ox .
	3

357.y2 4 x, x 2 , вокруг оси Ox .

358.y2 1 x 2 , отсеченной прямой x 3 , вокруг оси Ox .

359.y2 4 x , отсеченной осью Oy , вокруг оси Ox .

360.y x2 2 , отсеченной прямой y 3 , вокруг оси Oy .

x a(t sin t)

361.

, вокруг оси Ox .

y a(1

cos t),

t 0, 2

x a cos

, вокруг оси Ox .

362.

y asin

363. Петли кривой x t 2 ,

(t 2

3) , вокруг оси Ox .

3.ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3.1.Область определения функции многих переменных

Опр. 5. Переменная z называется однозначной функцией двух независимых переменных x и y, если каждой паре значений x и y в некоторой области их изменения поставлено в соответствие одно значение z. Функ-

циональную зависимость z от x и y записывают в виде z F(x, y) . Геометрически это уравнение определяет поверхность.

Найти области определения функций и построить их геометрическое изображение (где это возможно).

364.

z x2 y2 .

365.

az a2

y2 .

366.

367.

y2 .

368.

xy .

369.

1 x2 y2

370.

25 16x2 9 y2 .

371.

4 .

372.Для функции z

x 2 y

вычислить значения:

2x y

z(3,1),

z(1,3), z(2,1), z(a,a), z(a, a) .

3.2. Частные производные и дифференциалы

Опр.

Рассмотрим функцию z F(x, y)

во

внутренней точке

(x0 , y0 ) области определения. Дадим приращение x переменной x ,

получим точку (x0 x, y0 ) . Вычислим значения функции в исходной

точке и в точке с приращением. Составим приращение функции, соответствующее приращению x :

z F(x0 x, y0 ) F(x0 , y0 ) .

Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при x 0 , то этот предел называется частной

производной по x функции z F(x, y) в точке (x0 , y0 )

и обозначается

одним из символов:

z(x0 , y0 ) , F(x0 , y0 ) , z

'(x

, y

), F '(x

, y

) .

F(x0 x, y0 ) F(x0 , y0 )

По определению: z (x0 , y0 ) lim

x 0

Опр. 7. Рассмотрим

функцию z F(x, y) во

внутренней точке

(x0 , y0 ) области определения. Дадим приращение

x переменной x ,

приращение y переменной y , получим точку (x0

x, y0 y) . Вы-

числим значения функции в исходной точке и в точке с приращением.

Составим		приращение		функции,	соответствующее		приращениям
x,	y :
		z F(x0 x, y0 y) F(x0 , y0 ) .
Если приращение функции z можно представить в виде:
			z A x B y r ,
где	A, B	– постоянные числа,			r	( x)2 ( y)2	, 0 при
r 0 , то функция			z F(x, y) называется дифференцируемой в точке
(x0 , y0 ) , а величина			A x B y называется дифференциалом функ-
ции z в точке (x0 , y0 ) и обозначается dz(x0 , y0 ) или dF(x0 , y0 ) .
По определению:			dz(x0 , y0 ) A x B y .
Дифференциалы независимых переменных равны их приращениям:
				dx x,	dy y .
Дифференциал функции вычисляется по формуле:
		dz(x0 , y0 )		z(x0 , y0 ) dx z(x0 , y0 ) dy .
				x		y

Вычислить частные производные и дифференциалы:

373.	z 5x y 1.		z	x2	y3
		374.		2	3 7 .

375.	z x2 y y2 7								y .
377.	z	x			y	.
377.	z	y				.
		y			x
379.	z x		3	3x			2	y	y3	.
379.	z x			3x				y	3	.
									3
381.	z xe y .

376.	z x	y 2 x .
378.	z	x y2 .
380.	z ln(x2 y2 ) .
382.	z ye5x .

Вычислить дифференциалы функций в точках:

383.z x4 y3 4xy, x0 2, y0 3 .

384.z xy2 , x0 2, y0 1.

3.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнени-

ем z F(x, y) , в точке (x0 , y0 ) имеет вид:

z F(x0 , y0 ) Fx (x0 , y0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 ) ( y y0 ) .

Уравнение нормали к поверхности z F(x, y) в точке (x0 , y0 ) имеет вид:

x x0

y y0

z F(x0

, y0 )

(x0

, y0 )

(x0

, y0 )

Написать уравнение касательной плоскости к поверхности в точке:

385. z x2 2 y2 , (1,1) .	386. z	x2		y2	, (3,2) .

	9		4

387.	az x				2	y			2	,	a		,	a
												2		.
														2
389.		z2	xy,				(1,4) .
391.		z y2			2x2 ,						(0,1) .
393.		x2		y2				z		2	1,			(x0 , y0 ) .
		a2		b2				c		2

388. az x2 y2 , (0,0) .

390.	z2 2xy,				(9,1) .
392.	z 3y2 x2 ,						(1,0) .
394.		x2	y	2		z2		1, (3,1) .
		9					4

Написать уравнения нормали к поверхности в данных точках:

395.	z x2 y2 , (1,2) .				396.	z 2x2	y2 , ( 1,2) .
397.	z arctg	y	,	(1,1) .	398.	z arctg		y	, (1,	3) .

		x						x
399.	z2 x2 y2 ,			(3,4) .	400.	z2 x2 0.5y2 ,				( 1,2) .

3.4. Экстремум функции нескольких переменных

Опр.8. Рассмотрим функцию z F(x, y) в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) , входящей в область определения. Будем говорить, что функция z имеет максимум в точке (x0 , y0 ) , если для любой точки окрестности выполняется неравенство: F(x, y) F(x0 , y0 ) .

Будем говорить, что функция z имеет минимум в точке (x0 , y0 ) , ес-

ли для любой	точки	окрестности	выполняется неравенство:
F(x, y) F(x0 , y0 ) .
Необходимое	условие	экстремума	функции. Если функция

z F(x, y) имеет экстремум во внутренней точке области определения

	F (x			, y	0	) 0
		x	0		0
(x0		x				.
(x0	, y0 ) , то					.
		F (x0 , y0 ) 0
		y
		y

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025257.54 Кб0САМЫЙ СУПЕР Отчет по практике1.doc
#
01.03.2025296.96 Кб1Сафонова план.doc
#
08.05.2019109.57 Кб53Сафронов_пс айкидо.doc
#
01.07.2025277.11 Кб0Сбалансированная система показателей как средст...docx
#
01.03.20257.65 Mб1сборник 11.doc
#
30.05.2015457.05 Кб54Сборник задач по высшей математике.pdf
#
23.11.2019337.92 Кб37сборник задач по ПОПД перед2.doc
#
01.04.20251.02 Mб1Сборник задач.doc
#
30.05.20151.99 Mб46Сборник статей. Тараканова.pdf
#
30.05.2015701.41 Кб6Сборник-23-х-чтений.docx
#
26.03.20165.6 Mб237СБУ т-3 ред.doc