FA

Определение 10.4. Будем говорить, что элементы множества M C([a, b]) равномерно ограничены, если существует такая постоянная c > 0, что |x(t)| 6 c, t [a, b] для любых x(t) M.

Теорема 10.3. (теорема Арцела, см. [15], с. 207-209).

Для того, чтобы множество M C([a, b]) было компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции из M были:

10.2Линейные вполне непрерывные операторы

Пусть X, Y - банаховы пространства, A L(X, Y ).

Определение 10.6. Оператор A L(X, Y ) называется вполне непрерывным (или компактным), если он переводит замкнутый единичный шар пространства X в компактное множество пространства Y .

Отметим сразу же, что далеко не всякий оператор A из L(X, Y ) будет вполне непрерывным. Если, например, Y = X и A = I, где Iединичный (тождественный) оператор, то он не является вполне непрерывным, если только X бесконечномерное пространство.

Непосредственно из определения 10.6 вытекает следующее свойство.

Теорема 10.4. Если A L(X, Y ) вполне непрерывен, то любое ограниченное в X множество он переводит в множество, компактное в Y .

Доказательство. Пусть M ограниченное в X множество и kxk 6 R, x M. Возьмём любую последовательность {xn} M, а также последовательность {yn}, yn = Axn. Последовательность элементов {xn/R} принадлежит единичному шару в X. Так как A

101

вполне непрерывен, то {Axn/R} содержит фундаментальную подпоследовательность {Axnk /R}. Но тогда {Axnk } фундаментальная подпоследовательность последовательности y = Axn, т.е. множество

AM := {y Y : y = Ax, x M}

компактно. Множество всех вполне непрерывных операторов далее будем

обозначать символом S(X, Y ). Сформулируем без доказательства некоторые свойства множества S(X, Y ) (доказательства см., напри-

В частности, всякий линейный функционал f X = L(X, C) вполне непрерывен, так как C одномерное комплексное простран-

ство. То же свойство справедливо при X = L(X, R).

Пусть ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn X, а f1, f2, . . . , fn X . Линейный оператор Pn,

n

X

Pnx := hx, fkiϕk,

k=1

называют конечномерным . Такие операторы ограничены, так как

Кроме того, они вполне непрерывны, так как область их значений конечномерна (n - мерна).

В качестве следствия из этого факта и теоремы 10.5 получаем такой вывод.

Теорема 10.7. Если A = lim An (в метрике L(X, Y )), где An

n−→∞

конечномерные или вполне непрерывные операторы, то A вполне непрерывен.

Весьма полезным является и следующий результат.

102

Теорема 10.8. Пусть A L(X, Y ), B L(Y, Z). Если хотя бы один из этих операторов вполне непрерывен, то вполне непрерывен будет и оператор BA : X −→ Z.

Доказательство. Оно следует из того, что ограниченный оператор переводит ограниченное множество в ограниченное, а вполне непрерывный - ограниченное множество в компактное.

Ещё один факт даёт связь между вполне непрерывными операторами, а также сильно и слабо сходящимися последовательностями.

Теорема 10.9. Пусть {xn} слабо сходится к x0 в X, а A S(X, Y ). Тогда {Axn}∞n=1 сильно сходится к Ax0 Y .

Наконец, напомним, что если A L(X, Y ), то согласно общему

определению сопряженного оператора (см. п. 9.5), оператор A

L(Y , X ) и kA k = kAk.

Теорема 10.10. (теорема Шаудера, см. [15], с. 215). Пусть A

L(X, Y ), где X и Y банаховы пространства. Оператор A вполне

непрерывен, т.е. A S(X, Y ), тогда и только тогда, когда A

S(Y , X ).

10.3Примеры вполне непрерывных операторов

Рассмотрим некоторые примеры вполне непрерывных операторов, действующих в гильбертовых либо банаховых пространствах.

Пример 10.1. Рассмотрим в X = l2 оператор A, действующий в

этом пространстве на любой элемент x = {xk}∞k=1 по закону y = Ax, y = {yk}∞k=1,

∞∞

XX

Операторы такого вида называют матричными операторами Гильберта – Шмидта.

Как уже упоминалось в примере 7.2 и упражнении 7.3, оператор A ограничен в l2 и

∞

X

kAk 6 c := ( |akl|2)1/2.

k,l=1

Докажем теперь, что A вполне непрерывен. Обозначим через An оператор, переводящий всякий элемент x = {xk}∞k=1 l2 в элемент

103

y = {y1, y2, . . . , yn, 0, 0, . . .}. Так как область значений оператора An конечномерна (n – мерна), то каждый An по теореме 10.6 вполне непрерывен.

Поскольку, кроме того,

Пример 10.2. Пусть X = Y = C([a, b]). Рассмотрим интегральный оператор

Z b

(Kx)(t) := K(t, s)x(s) ds (10.1)

a

с непрерывным ядром K(t, s), заданным на квадрате Q := [a, b] ×

6 (b − a)M max |x(t)| = (b − a)Mkxk 6 (b − a)M.

a6t6b

Отсюда следует, что функции из множества KS := {(Kx)(t) : x(t) S} равномерно ограничены.

Докажем теперь равностепенную непрерывность функций из KS, тогда по теореме Арцела (см. теорему 10.3) множество KS будет компактным и потому оператор K будет вполне непрерывным. Имеем для любой функции y = Kx из KS:

Z b

6|K(t1, s) − K(t2, s)| · |x(s)| ds.

a

104

Тогда по неравенству Коши – Буняковского получаем

Z b Z b

|y(t1) − y(t2)|2 6 |K(t1, s) − K(t2, s)|2 ds · |x(s)|2 ds 6

a a

Zb

=(b − a) |K(t1, s) − K(t2, s)|2 ds.

a

Так как непрерывная функция K(t, s) равномерно непрерывна на Q = [a, b] × [a, b], то для любого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что для любых t1, t2 из [a, b] и любого s [a, b] при |t1 − t2| < δ(ε) выполнено условие |K(t1, s) −K(t2, s)| < ε. Поэтому из предыдущего неравенства имеем

|y(t1) − y(t2)|2 < (b − a)2ε2,

откуда следует равностепенная непрерывность множества KS, и, следовательно, оператор K : C([a, b]) −→ C([a, b]) вполне непрерывен.

Некоторым видоизменением примера 10.2 является следующий пример.

Пример 10.3. Пусть X = Y = L2([a, b]), а оператор K снова является интегральным, задан выражением (10.1) и его ядро обладает прежними свойствами.

Покажем, что K вполне непрерывен как оператор, действующий в L2([a, b]). Пусть S единичный шар в L2([a, b]), т.е.

Z b

S = {x(t) L2([a, b]) : kxk2 = |x(t)|2 dt 6 1}.

a

Рассмотрим произвольную последовательность {xn(t)}∞n=1 из S и последовательность

Z b

yn(t) := (Kxn)(t) = K(t, s)xn(s) ds.

a

Докажем, что функции yn(t) непрерывны на [a, b], а их совокупность {yn(t)}∞n=1 равностепенно непрерывное множество в C([a, b]).

105

√

< ε b − a,

если только |t1 − t2| < δ = δ(ε), как и в примере 10.2. Далее, множество {yn(t)} равномерно ограничено в C([a, b]), так как

где M константа из примера 10.2.

Из (10.3), (10.4) по теореме Арцела (теорема 10.3) получаем, что последовательность {yn(t)} компактна в C([a, b]) и потому найдется такая ее подпоследовательность {ynk (t)}, что она равномерно сходится к некоторой функции y0(t) C([a, b]) L2([a, b]). Тогда эта же подпоследовательность {ynk (t)} сходится к y0(t) и в L2([a, b]) (докажите это!). Значит, {yn(t)} компактна в L2([a, b]) и, следовательно,

Пример 10.4. Пусть снова X = Y = L2([a, b]) и опять рассмотрим интегральный оператор (10.2), однако теперь будем предполагать, что ядро K(t, s) L2(Q), Q = [a, b] × [a, b], т.е. конечен двойной интеграл Лебега:

Интегральные операторы с такими свойствами называют

интегральными операторами Гильберта – Шмидта.

106

Докажем, что K вполне непрерывен в L2([a, b]). Так как множество C(Q) непрерывных функций плотно в L2(Q) (см. параграф 3), то найдется последовательность {Kn(t, s)} непрерывных ядер, сходящаяся к K(t, s) в L2(Q), т.е.

Z b Z b

|K(t, s) − Kn(t, s)|2 ds dt −→ 0 (n −→ ∞).

aa

Введем аналогично (10.1) интегральные операторы Kn с ядрами

Kn(t, s):

Тогда

Z b

k(Kx)(t) − (Knx)(t)k2 = |(Kx)(t) − (Knx)(t)|2 dt 6

a

Z b Z b

6|K(t, s) − Kn(t, s)|2 ds dt · kxk2

aa

и потому

Z b Z b

kK − Knk2 6 |K(t, s) − Kn(t, s)|2 ds dt −→ 0 (n −→ ∞).

aa

Значит, оператор K является пределом (в метрике L(L2([a, b]))) последовательности {Kn} интегральных операторов с непрерывными ядрами, которые вполне непрерывны, как это следует из рассмотрения примера 10.3. Поэтому согласно теореме 10.7 интегральный

Контрольные вопросы и упражнения

1.Какое множество в банаховом пространстве называется компактным?

2.Какое множество в банаховом пространстве называется бикомпактным?

3.Верно ли утверждение: предел каждой сходящейся последовательности, принадлежащей компактному множеству в банаховом пространстве, принадлежит этому множеству?

4.Верно ли утверждение: предел каждой сходящейся последовательности, принадлежащей бикомпактному множеству в банаховом пространстве, принадлежит этому множеству?

5.Сформулируйте понятие ε-сети множества в банаховом пространстве.

6.Сформулируйте критерий компактности множества в банаховом пространстве.

7.Сформулируйте критерий компактности множества в пространстве C([a, b]).

8.Какой оператор называется компактным?

9.Верно ли утверждение: любой линейный ограниченный оператор является компактным? Верно ли обратное утверждение?

10.Приведите примеры компактных операторов в пространствах:

1.l2;

2.C([a, b]);

3.L2([a, b]).

108

11Теория Рисса – Шаудера линейных уравнений второго рода

Здесь будет сначала рассмотрена абстрактная теория линейных уравнений второго рода в произвольном банаховом пространстве, а затем приложения этой теории к интегральным уравнениям Фредгольма и Вольтерра.

11.1Общие результаты

Пусть A вполне непрерывный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве X, т.е. A S(X). Рассмотрим линейное уравнение вида

где y заданный, а x X искомый элемент. Уравнения вида (11.1) называют линейными уравнениями второго рода (этот термин заимствован из теории интегральных уравнений). Теория уравнений вида (11.1) построена Ф. Риссом и Ю. Шаудером.

Переходя к изложению этой теории, рассмотрим наряду с неоднородным уравнением (11.1) соответствующее ему однородное уравнение

а также еще два уравнения: так называемое сопряженное неоднородное уравнение

и отвечающее ему однородное уравнение

Напомним, что согласно теореме Шаудера (теорема 10.10) оператор A , действующий в пространстве X , также является вполне непрерывным.

Сначала познакомимся со следующим утверждением.

Теорема 11.1. Пусть A S(X). Тогда множества значений R(I− A) и R(I − A ) операторов I − A и I − A замкнуты и потому

являются подпространствами в X и X соответственно.

109

Доказательство. Оно будет проведено лишь частично (см. [15], с.220 – 221). Пусть последовательность {yn} R(I − A), т.е. она из множества значений оператора I − A. Тогда найдутся такие xn X, что xn − Axn = yn. Пусть yn −→ y0 при n −→ ∞. Покажем, что y0 R(I −A) при дополнительном условии, что последовательность {xn} ограничена. Но тогда {Axn} компактна и потому xn = yn +Axn тоже компактна, так как {yn} сходится, а из {Axn} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Значит, из последовательности {xn} можно выделить подпоследовательность {xnk }∞k=1, сходящуюся к некоторому элементу x0. Переходя к пределу по элементам подпоследовательности {nk} в соотношении xnk − Axnk = ynk , получим в силу непрерывности A, что x0 − Ax0 = y0, т.е. y0 R(I − A).

Таким образом, первое утверждение теоремы доказано при введенном выше предположении ограниченности {xn}. Аналогично доказывается утверждение теоремы относительно R(I − A ).

Сформулируем теперь основные теоремы теории Рисса Шауде-

ра.

Теорема 11.2. (первая теорема Фредгольма). Пусть A линейный вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве X. Следующие четыре утверждения эквивалентны:

10. уравнение (11.1) имеет решение при любой правой части

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [15], с. 221 – 222.

Здесь будут даны лишь небольшие пояснения.

Во-первых, утверждения 10 и 20, а также 30 и 40 идентичны, одно в пространстве X, а второе в X . Далее, если уравнение (11.1) имеет решение при любом y X, то область значений R(I−A) оператора I −A совпадает со всем пространством и потому по теореме Банаха (см. теорему 7.9) существует ограниченный обратный (I −A)−1, заданный на всем пространстве X. В этом случае Ker (I − A) = {0} и потому уравнение (11.2) имеет лишь тривиальное решение.

Обратно, если уравнение (11.2) имеет лишь тривиальное решение, то Ker (I −A) = {0}. Так как R(I −A) есть подпространство в X (по

110