FA Арсеньев Функ.Ан

Третье утверждение леммы следует из перого утверждения и равества

X

kjW (qj ; pj)e0k2 =

X

k j exp( ((qj qk)2 + (pj pk)2)=4 i (qj pj ; qk pk)=2):

1 j ; k N

Лемма доказана.

Переходим к доказательству теоремы. Пусть a0 2 H -такой вектор, что

a0 = P a0 ; ka0k = 1:

Такой вектор обязательно существует, так как P -не равный нулю проек- тор. Пусть Le -множество всех конечных линейных комбинаций векторов Wf(qj ; pj)a0. Множество Le -это линейное подпространство в H, которое

инвариантно относительно операторов Wf(q ; p) и состоит из векторов ви- äà

В силу утверждения 3 предыдущей леммы векторы Wf(qj ; pj)a0 линейно независимы и для каждого вектора a 2 Le представление (A.39) един-

ственно.

Определим линейный оператор

U : Le 7!L2(Rd ; dx)

равенством

Это определение корректно в силу линейной независимости векторов

Wf(qj ; pj)a0.

Прямой выкладкой проверяется, что отображение U удовлетворяет условиям:

8(a 2 Le) : kUa j L2(Rd ; dx)k = ka j Hk; UWf(q ; p)a = W (q ; p)Ua ;

Cl(ULe) = L2(Rd ; dx):

Пусть

H0 = Cl(Le):

479

Пространство H0 -нетривиальное подпространство в H, которое удовлетворяет условию:

8(q p) : Wf(q ; p)H0 = H0;

поэтому

H0 = H:

Пусть U -продолжение по непрерывности на пространство H оператора,

заданного формулой (A.40) н пространстве Le. Ýòî -искомое отображение.

Теорема доказана.

Если не делать предположения 4, но предположить, что пространство H сепарабельно, то тогда предыдущая конструкция приведет к разложе-

нию пространства H в прямую сумму:

В пространстве H0 оператор Wf(q ; p) есть оператор аннулирования, а в постранствах Hj ; j > 1 оператор Wf(q ; p) унитарно эквивалентен оператору W (q ; p).

480

A.3 Указатель обозначений.

Обозначения, связанные с теорией множеств.

Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями теории множеств в объеме первых глав книг [1], [2].

T

Символ A B обозначает пересечение множеств A è B.

S

Символ A B обозначает объединение множеств A è B.

Åñëè A X, то дополнение множества A â X мы обозначаем символм

C(A) := X n A:

Формулы де Моргана в этих обозначениях имеют вид

[ \ \ [

C( A ) = C(A ) ; C( A ) = C(A ): (A.41)

Символ fxg означает множество, общий элемент которого обозначен символом x.

Символ

fx j b1(x) ; b2(x) : : :g;

ãäå b1(x) ; b2(x) : : : -булевские выражения, означает множество всех x, для которых булевские выражения b1(x) ; b2(x) : : : принимают значение

"истина".

Символ

ff(x) j b1(x) ; b2(x); : : :g

обозначает множество всех тех значений функции f(x), которые она принимает при тех x, для которых все булевские выражения b1(x) ; b2(x); : : :

принимают значения истина . Символ

a = supff(x) j b1(x) ; b2(x) ; : : :g

означает, что точная верхняя грань вычисляется по тем значениям переменной x, для которых булевские выражения b1(x) ; b2(x) ; : : : принима-

ют значения истина . Аналогичное правило применяется при указании области изменения переменных при вычислении точной нижней грани и т.д.

Характеристическую функцию множества A мы обозначаем симво-

ëîì (

I(A j x) = 1 ; x 2 A; 0 ; x 62A:

481

Мы исползуем это же обозначение для того случая, когда множество A задано булевским выражением b1(x):

(

I(b1(x) j x) = 1 ; b1(x) = truth; 0 ; b1(x) = false:

Åñëè A è B -булевские выражения, то выражение

A ) B

используется для обозначения утверждения: из A следует B, а выраже-

íèå

A () B

используется для обозначения утверждения: A истино в том и только том случае, если истино B.

def

Символы := ; = обозначают равенство по определению.

При написании формул мы старались придерживаться следующей схемы: выписанные через запятую кванторы и булевские выражения, которые определяют область изменения переменных в высказывании, знак : , высказывание.

Строка

8(a ; b ; : : :) ; 9(c ; d ; : : :) :

читается так: для всех a ; b ; : : : существуют такие c ; d ; : : :, ÷òî ....

Строка

8(b1(x) ; b2(y) ; : : :) ; 9(c ; d ; : : :) :

читается так: для всех тех значений переменных x ; y ; : : :, при которых булевские выражения b1 ; b2 ; : : : принимают значение истина , существуют такие c ; d ; : : :, ÷òî ...

Символы _ è ^ использованы для обозначения логического или и логического и :A _ B

одно из значений A èëè B истино, A ^ B истино в том и только том случае, если истины оба значения: A è B.

Символ f(x) в зависимости от контекста означает имя функции или значение функции в точке.

Обозначения, связанные с теорией меры и интеграла.

L0(X) -пространство элементарных функций, см. стр. 3.

L+(X) -пополнение пространства элементарных функций, см. стр. 19. L(X) -пространство интегрируемых функций, см. стр. 24.

482

Lp(X) -пространство функций, интегрируемых со степенью p, ñì. ñòð.

41.

I0(f) -элементарный интеграл, см. стр. 4.

I+(f) -расширение элементарного интеграла, см. стр. 21. I(f) -интеграл Даниэля, см. стр. 26.

mes(Z) = 0 -утверждение о том, что мера множества Z равна нулю,

ñì. ñòð. 11, ñòð. 60.

п.в.-сокращение для утверждения "почти всюду см. стр. 13, стр. 14, стр. 60.

(A) -мера множества A, ñì. ñòð. 47.

R

f(x) (dx) -интеграл по мере , см. стр. 52.

Обозначения, связанные с теорией метрических и топологиче- ских пространств.

d(x ; y) -расстояние между точками x è y метрического пространства, см. стр. 99.

dist -расстояние между множествами A è B, ñì. ñòð. 100.

b(x ; ) := fy j d(x ; y) < g, -открытый шар в метрическом пространстве, см. стр. 100.

Cl(A) -замыкание множества A, ñì. ñòð. 113.

B(X) -алгебра борелевских множеств пространства X.

Обозначения, связанные с теорией банаховых пространств.

spanfe1 ; e2 : : : ; eng = ff j f = P1 j n jej ; j 2 C1g -линейная оболоч- ка векторов ej.

jk k , k j Bk-норма в банаховом пространстве, см. стр. 149. L(B1 7!B2) -банахово пространство всех линейных непрерывных

отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2, ñì. ñòð. 157.

K(B1 7!B2) -пространство всех компактных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2, ñì. ñòð. 227.

Gr(T ) -график оператора T , ñì. ñòð. 169. Dom(T ) -область определения оператора T .

Im(T ) = fy j y = T x ; x 2 Dom(T )g -область значений отображения

T .

Ker(T ) = fx j x 2 Dom(T ) ; T x = 0g -ÿäðî отображения T .

B? -банахово пространство, сопряженное банахову пространству B,

ñì.ñòð. 173.

N(A) -аннулятор множества A, ñì.ñòð. 181.

483

id -единичное (тождественное отображение), единица алгебры, см.стр.

188.

Opa -определяемый интегралом Данфорда гомоморфизм алгебры аналитических функций в алгебру операторов, см.стр. 193.

Обозначения, связанные с теорией гильбертовых пространств.

< ; > -скалярное произведение в гильбертовом пространстве, см. стр.

267.

A? = T fy j< y ; x >= 0g -ортогональное дополнение множества A,

x2A

ñì. ñòð. 278.

A оператор, гильбертово сопряженный оператору A, ñì. ñòð. 284 , 332.

kj HSk -норма Гильберта-Шмидта , см. стр. 300.

HS(A ; B) -скалярное произведение в пространстве опрераторов ГильбертаШмидта, см. стр. 302.

sj(A) -характеристические числа оператора A, см. стр. 296. Ncl -банахово пространство ядерных операторов, см. стр. 306. kA j Nclk -ядерная норма оператора A, ñì. ñòð. 305.

E( ; A) -спектральная функция оператора A, ñì. ñòð. 318.

OpbA -гомоморфизм измеримых по Борелю функций на спектре самосопряженного оператора A в алгебру операторов L(H 7!H), ñì. ñòð.

318.

OpU -определяемый унитарным оператором U гомоморфизм алгебры измеримых по Борелю функций Bor([0 ; 2 ]) в алгебру операторов L(H 7!H), ñì. ñòð. 330.

W (B ; A) -волновые операторы, см. стр. 377. S(B ; A) -оператор рассеяния, см. стр. 381.

M(A) используемое в теории рассеяния подпространство абсолютно непрерывного подпространства оператора A, ñì. ñòð. 375.

Eun( ; U) -спектральная функция унитарного оператора U. S(Rd) -пространство Шварца, см. стр. 401.

D(Rd) -пространство бесконечно дифференцируемых в области D ôóíê-

öèé, ñì. ñòð. 405.

Hs(Rd) -пространство Соболева, см. стр. 446.

p

H (D) -пространство Соболева функций, заданных в области D, ñì. ñòð. 456.

484

Литература

[1]П. С. Александров. Введене в теорию множеств и общую топологию. 367 стр. Москва, Издательство Наука, 1977г.

[2]А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элемнты теории функций и функционального анализа. 496 стр. Москва, Издательство Наука, 1972г.

[3]К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств. 416 стр. Издательство Мир, Москва, 1970.

[4]В. И. Богачев. Основы теории меры. Том 1. 554 стр. Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2003г.

[5]В. И. Богачев. Основы теории меры. Том 2. 576 стр. Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2003г.

[6]П. Халмош. Теория меры. 256 стр. Москва, Факториал Пресс, 2003г.

[7]Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич. Интеграл, мера и производная. 211 стр. Издательство Наука, Москва, 1964г.

[8]М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов. Интеграл и мера. 159 стр. Москва. Издательство Факториал, 1998г.

[9]Ж. Неве. Математические основы теории вероятностей. 309 стр. Издательство Мир, Москва, 1969г.

[10]К. Партасарати. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. 343 стр. Издательство Мир, Москва, 1983г.

[11]Г. Федерер. Геометрическая теория меры. 760 стр. Москва, "Наука Главная редакция физико-математической литературы. 1987 г.

[12]Н. Бурбаки. Общая топология. Использование вещественных чи- сел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. 408 стр. Москва. Издательство Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1975 г.

485

[13]Н. Бурбаки. Общая топология. Основные сруктуры. 272 стр. Москва. Издательство Наука, Главная редакция физикоматематической литературы. 1968 г.

[14]Р. Энгелькинг. Общая топология. 744 стр. Москва. Издательство Мир. 1986 г.

[15]Дж. Л. Келли. Общая топология. 431 стр. Москва. Издательство Наука. 1981 г.

[16]Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. 740 стр. Москва. Издательство Мир, 1972 г.

[17]Ô. Ðèññ è Á. Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. 587 стр. Москва. Издательство Мир. 1979 г.

[18]У. Рудин. Функциональный анализ. 443 стр. Санкт-Петербург, Москва, Краснодар. Издательство Лань. 2005 г.

[19]А. Я. Хелемский. Лекции по функционаьному анализу. 552 стр. Издательство Московского центра непрерывного математического образования. Москва. 2004 г.

[20]В. И. Богачев, О.Г.Смолянов. Действительный и функциональный анализ. Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2009г.

[21]К. Иосида. Функциональный анализ. 624 стр. Москва. Издательство Мир. 1967 г.

[22]Д.Р.Яфаев. Математическая теория рассеяния. Санкт-Птербург. Идательство С.-Петербургского университета. 1994 г.

[23]М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т1. Функциональный анализ. 357 стр. Москва, Издательство Мир. 1977 г.

[24]М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т2. Гармонический анализ. Самосопряженность. 395 стр. Москва, Издательство Мир. 1978 г.

[25]М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т3. Теори рассеяния. 443 стр. Москва, Издательство Мир. 1982 г.

486

[26]М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т4. Анализ операторов. 428 стр. Москва, Издательство Мир. 1982 г.

[27]Н. Данфорд и Дж. Шварц. Линейные операторы. Общая теория. 895 стр. Москва. Издательство иностранной литературы. 1962 г.

[28]Н. Данфорд и Дж. Шварц. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. 1062 стр. Москва. Издательство иностранной литературы. 1966 г.

[29]Н. Данфорд и Дж. Шварц. Линейные операторы. Спектральные операторы. 661 стр. Москва. Издательство иностранной литературы. 1974 г.

[30]Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. 741 стр. Москва. Издательство Наука , Главная редакция физикоматематической литературы. 1977 г.

[31]Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. 543 стр. Москва. Издательство Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1966 г.

[32]С. С. Кутателадзе. Основы функционального анализа. 218 стр. Новосибирск. Издательство Наука. Сибирское отделение. 1983 г.

[33]В. М. Федоров. Курс функционального анализа. Санкт-Петербург, Москва, Краснодар. Издательство Лань. 2005 г.

[34]Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Ленинград. Издательство Ленинградского университета. 1980 г.

[35]П. Халмош. Гильбертово пространство в задачах. 352 стр. Новокузнецк. Издательский отдел Новокузнецкого Физико-математического института. 2000 г.

[36]А. А. Кириллов, Ф. Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. 396 стр. Москва, Издательство Наука , Главная редакция физико-математической литературы. 1988 г.

[37]У. Брателли, Д. Робинсон. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. 511 стр. Москва, Издательство Мир , 1982 г.

487

[38]Иоганн фон Нейманн. Математические основы квантовой механики. 367 стр. Издательство Наука. Москва. 1964 г.

[39]В. С. Владимиров. Обобщенные функции в математической физике.280 стр. Москва. Издательство Наука. 1976 г.

[40]Р.Эдвардс. Функциональный анализ. Теория и приложения. 1071 стр. Издательство Мир . Москва, 1969 г.

[41]П.Н.Князев. Фукциональный анализ. 208 стр. Издательство Едиториал УРСС. 2003 г. Москва.

[42]В.И.Смирнов. Курс высшей матнматики. Том 5. Государственное издатеьство физико-математческой литетатуры. Москва. 1959 г.

[43]. Vojkan Jaksic. Topics in Spectral Theory.

http://www.ma.utexas.edu/mp_arc 05-38

[44]К. Морен. Методы гильбертова пространства. 570 стр. Издательство Мир, Москва, 1965 г.

[45]М.А.Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. Москва, Государственное издательство научно-технической литературы, 1954 г.

[46]Andrea Posiliano and Luca Raimondi. Krein's resolvent formula for self-adjoint extensions of symmetric second-order elliptic di erential operators. J. Phys. A:Math. THeor. 42 (2009)015204 (11pp).

[47]M. Gadella and F. Gomez. A Uni ed Mathematical Formalism for the Dirac Formulation of Quantum Mechanics. Foundation of Physics, Vol. 32, No 6, June 2002, p.815-869.

[48]M. Gadella and F. Gomez. Eigenfunction expansions and Tranformation Theory. arxiv:math.FA./0607548.

[49]R. de la Madrid, A. Bohm, M. Gadella. Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum.

http://www.ma.utexas.edu/mp_arc 02-126

[50] Barry Simon. Spectal analysis of rank one perturbatins and applications.

488