FA Арсеньев Функ.Ан

Полнота системы zi ; j( ; ) доказана. Ортонормированность системы zi ; j( ; ) следует из предыдущей леммы.

Определение A.1.1. На функциях из пространства Шварца S(Rd Rd) преобразование Вейля определено как отображение, которое функции

Интеграл в формуле (A.16) понимается как интеграл Бохнера в банаховом пространстве L(L2(Rd) 7!L2(Rd)). В формуле (A.16)

F (a)( ) 2 S(Rd Rd) ; kW ( ; ) j L(L2(Rd) 7!L2(Rd))k 1;

поэтому сходимость интеграла сомнений не вызывает.

Теорема A.1.1. На функциях из пространства Шварца S(Rd Rd) преобразование Вейля удовлетворяет условиям:

2: 8(a 2 S(Rd Rd)) : Tw(a) 2 HS ; kTw(a) j HSk2 = (2 ) dka j L2(Rd Rd)k2:

(A.20)

Доказательство. Имеем:

Tw(a) =

Z Z

(2 ) d F (a)( ; ) W ( ; ) d d = (2 ) d F (a)( ; ) W ( ; )d d =

Z Z

(2 ) d F (a)( ; ) W ( ; )d d = (2 ) d F (a )( ; )W ( ; )d d :

469

Первое утверждение теоремы доказано. Докажем второе утверждение. Пусть ej(x) ; 1 j < 1 -произвольная полная ортонормированная система в пространстве L2(Rd). С учетом следствия A.1.2 и равенства Пар-

севаля, мы имеем:

X

kTw(a) j HSk2 = j < ei ; Tw(a)ej > j2 =

i ; j

Z

X

(2 ) 2dj F (a)( ; ) < ei ; W ( ; )ej > d d j2 =

i ; j

(2 ) dkF (a) j L2(Rd Rd)k2 = (2 ) dka j L2(Rd Rd)k2:

Докажем третье утверждение теоремы. Воспользовавшись равенством (A.13), мы имеем:

Теорема доказана.

Так как пространство S(Rd Rd) плотно в L2(Rd Rd), то из (A.19) вытекает

Следствие A.1.3. Отображение

S(Rd Rd) 3 a 7!Tw(a) 2 HS

продолжается по непрерывности до отображения

L2(Rd Rd) 3 a 7!Tw(a) 2 HS:

Отображение

L2(Rd Rd) 3 a 7!(2 )d=2Tw(a) 2 HS

470

унитарно:

j<

В левой части равенства (A.21) стоит скалярное поизведение в пространстве L2(Rd Rd), в левой части равенства (A.22) стоит скалярное

произведение в пространстве операторов Гильберта-Шмидта HS, â ïðà-

вой части равенства (A.22) стоит скалярное произведение в пространстве L2(Rd) è ej(x) ; 1 j < 1 -произвольная полная ортонормированная си-

стема в пространстве L2(Rd).

Формула (A.19) позволяет оснащение пространства L2(Rd Rd) переносить на оснащение пространства операторов Гильберта-Шмидта HS è

расширять преобразование Вейля на функции, которые не принадлежат пространству L2(Rd Rd).

Операторы Tw(a) вида (A.20) в теории дифференциальных уравнений называются псевдодифферециальными операторами, а функция a â

(A.20) -называется вейлевским символом оператора Tw(a). Можно доказать, что формула (A.20) корректно определяет оператор на простран-

Мы видим что в рассматриваемом случае отображение Вейля совпдает с вейлевским квантованием.

Докажем, что отображение Вейля обратимо.

Теорема A.1.2. Пусть T -оператор Гильберта-Шмидта в пространстве L2(Rd). Тогда существует такая функция a 2 L2(Rd Rd), ÷òî T = Tw(a). Эта функция оперделена равенствами (A.23)-(A.24).

471

Доказательство. Пусть ej(x) ; 1 j < 1 -произвольная полная ортонормированная система в пространстве L2(Rd). Согласно следствию A.1.2 функции

zi ; j( ; ) = (2 ) d=2 < ei ; W ( ; )ej >

образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2(Rd Rd). Òàê êàê T -оператор Гильберта-Шмидта, то

Z

8(i ; j) : < ei ; Tw(a)ej >= (2 ) d !( ; ) < ei ; W ( ; )ej > d d =

(2 ) d=2 < zi ; j ; ! >=< ei ; T ej > :

Следовательно,

T = Tw(a):

Теорема доказана.

Если оператор T ядерный, то формулы (A.23)-(A.24) можно преобразовать к более привычному для физика виду. Имеем:

472

Изучим связь между композицией операторов Гильберта-Шмидта и их вейлевскими символами. Пусть

Вычислим

Tw(a) Tw(b) =

Z

F (a)( 1 1)F (b)( 2 2)W ( 1 ; 1)W ( 2 ; 2)d 1d 1d 2d 2 =

Z

1

F (a)( 1 1)F (b)( 2 2) exp( i2 ( 1 1 ; 2 2))

W ( 1 + 2 ; 1 + 2)d 1d 1d 2d 2 =

Z

1

F (a)( 1 1)F (b)( 2 1 2 1) exp( i2 ( 1 1 ; 2 2))

W ( 2 ; 2)d 1d 1d 2d 2 = Tw(a b);

ãäå

a b(q ; p) := F 1(F (a) F (b))(q ; p); F (a) F (b)( ) =

Z

1

F (a)( 1 1)F (b)( 1 1) exp( i2 ( 1 1 ; ))d 1d 1:

Если выполнено условие (A.25), то a b 2 S(Rd Rd). Из равенства

Tw(a) Tw(b) = Tw(a b)

следует, что бинарная операция

(a ; b) 7!a b

ассоциативна (что можно проверить и прямой выкладкой) и линейна по каждому аргументу, а линейное пространство S(Rd Rd) вместе с

бинарной операцией есть (некоммутативная) алгебра. Отображение

a 7!Tw(a)

есть представление этой алгебры операторами Гильберта-Шмидта.

473

A.2 Теорема Дж. фон Неймана о единственности представления КПС в форме Вейля

Мы задали операторы U(q) ; V (p) явными формулами и потом доказали, что построенный на их основе оператор W (q ; p) унитарен и удовле-

творяет соотношениям (A.14)-(A.15), которые, очевидно, эквивалентны каноническим перестановочным соотношениями в форме Вейля (A.6)- (A.8). Оказывается, что соотношения (A.14)-(A.15) определяют опера-

торную функцию W (q ; p) (а потому и операторы U(q) ; V (p)) с точно-

стью до унитарной эквивалентности. Соответствующее утверждение доказано Дж. фон Нейманом в 1931 году (Johann von Neumann (1903-1957), современное произношение этой фамилии на русском язые -Нойман, американское написание имени: John Von). В математическом фольклоре соответствующая теорема называется теоремой Дж. фон Неймана (Ноймана) о единственности шредингеровсого представления КПС (канони- ческих перестновочных соотношений) в форме Вейля. Приведем одну из редакций этого утверждения.

Теорема A.2.1. Пусть в гильбертовом пространстве H задана операторная функция

Wf: Rd Rd 3 q p 7!Wf(q ; p) 2 L(H 7!H);

которая удовлетворяет условиям:

1. Операторы Wf(q ; p) унитарны и

торое инвариантно относительно всех операторов Wf(q ; p).

474

Тогда существует такой унитарный оператор U:

U : H 7!L2(Rd ; dx);

÷òî

8(q ; p): W (q ; p)U = UWf(q ; p):

Доказательство этой теоремы потребует от нас только умения вычислять гауссовы интегралы и основано на следующей лемме Неймана.

Лемма A.2.1. Если выполнены условия теоремы, то оператор

Доказательство леммы проводится прямой выкадкой. Доказываем первое утверждение. Имеем:

Делаем замену переменных в интеграле и учитываем кососимметрич- ность билинейной формы :

! q ; ! p

(q p ; ) ! (q p ; q p) = (q p ; ):

475

Получаем:

непрерывна и оганичена, то интеграл J (q ; p) сходится при всех ком- и на многообразии

(q ip) 2 Rd ; (p iq)) 2 Rd:

Отсюда следует, что преобразование Фурье функции

тождественно равно нулю и поэтому функция (A.33) тождественно равна íóëþ 8( ; 2 H), чего быть не может, если оператор Wf( ; ) íå åñòü

оператор умножения на 0. Утверждение 2 доказано.

476

Переходим к доказательству третьего утверждения. Имем:

P Wf(q ; p)P =

Z

(2 ) 2d exp( Q)Wf( 0 ; 0)Wf( ; )d d d 0d 0

ãäå

Q = (( q)2 + ( p)2)=4 + i (q p ; )=2) + ( 02 + 02)=4:

Íî

Wf( 0 ; 0)Wf( ; ) = exp( i ( 0 0 ; )=2)Wf( 0 + ; 0 + );

поэтому

ZZ

ãäå

Q = (( q)2 + ( p)2))=4 + i (q p ; )=2)+ (( 0 )2 + ( 0 )2)=4 + i ( 0 0 ; )=2:

В квадратичной форме Q собираем слагаемые с одинаковыми степенями. Получаем:

2 : 14 2 + 14 2 = 12 2;

: 12 q 12 0 i12 p i12 0 =

12 ( q 0 ip i ) = 12 a ; a = ( q 0 ip i 0);

2 : 14 2 + 14 2 = 12 2;

: 12 p 12 0 + i 0 + i q = 12 b ; b = p 0 + i + iq ;

Q( = 0 ; = 0) = 14(q2 + p2 + 02 + 02):

Замечаем, что в полученых равенствах

a2 = b2:

477

Вычисляем интеграл по d d . Получаем:

Z

exp( Q)d d = (2 )d exp( Q(0 ; 0)) =

(2 )d exp( 14(q2 + p2 + 02 + 02)):

Третье утверждение доказано. Положив в нем q = 0 ; p = 0, получаем

последнее утверждение. Лемма доказана. Положим

1 j N

òî

X

k j exp( ((qj qk)2 + (pj pk)2)=4 i (qj pj ; qk pk)=2) > 0:

1 j ; k N

(A.38)

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе утворждение следует из формулы (A.13) и формулы

<W (qk ; pk)e0 ; W (qj ; pj)e0 >=< e0 ; W (qk ; pk) W (qj ; pj)e0 >=

<e0 ; W ( qk ; pk)W (qj ; pj)e0 >=

exp( i (qj pj ; qk pk)=2) < e0 ; W (qj qk ; pj pk)e0 > :

478