FA Арсеньев Функ.Ан

f j j j Rg. Полученная подпоследовательность удовлетворяет услови-

ям леммы.

Перейдем к доказательству теоремы. Нам нужно доказать, что любая последовательность f ng Bq содержит подпоследовательность, которая сходится в метрике пространства Hp(Rd). Пусть

(m) ! 0 ; m ! 1 ; f n(m+1)g f n(m)g f ng

-последовательности, существование которых гарантировано предыдущей леммой. Последовательность n(n)

Теорема доказана.

459

6.5Коментарии и литературные указания.

•

6.5.1Преобразование Фурье.

Приведем вывод относящихся к преобразованию Фурье формул. Ниже

: : : dx

означает интеграл по пространству Rd. Имеем:

Z

exp( ax2)dx = ( =a)d=2 ;

Z Z

exp( ax2 + x )dx = exp( a(x =2a)2 + 2=4a)dx) = ( =a)d=2 exp( 2=4a) ;

аналитическое продолжение:

Z

exp( ax2 + ix )dx = ( =a)d=2 exp( 2=4a);

Переходя в последнем неравенстве к пределу t ! +0, получаем формулу

|

460

6.5.2Литературные комментарии

С математической точки зрения теория распределений -это специальный раздел теории линейных топологических пространств, в рамках которой результаты теории распределений приобретают естественный и закон- ченный вид. Введение в теорию линейных топологических пространств есть в книгах [30], [41],[40]. Доступное для начинающих учебное пособие по теории распределений -книга [39].

461

Приложение A

Приложение

A.1 Преобразование Вейля.

Преобразование Вейля (по другой терминологии -отображение Вейля или вейлевское квантование) было введено в ранних работах по квантовой механике как алгоритм, который функции на фазовом прстранстве (классической наблюдаемой) ставит в соответствие оператор в гильбертовом пространстве (квантовую наблюдаемую). Вейлевское квантование обратимо: каждый оператор Гильберта-Шмидта в гильбертовом пространстве есть преобразование Вейля функции на фазовом пространстве (эта функция обычно называется вейлевским символом оператора). Это обстоятельство лежит в основе метода фазового пространства в квантовой механике, при котором операторные уравнения движения в форме Гейзенберга заменяются уравнениями (обычно интегродифференциальными) для вейлевских символов операторов. Метод фазового пространства и его модификации широко используются в задачах статистической физики, физике твердого тела, квантовой оптике, теории столкновений и т. д. Связанный с преобразованием Вейля математический аппарат получил применения в теории представлений групп, теории вейвлет преобразования, теории дифференциальных уравнений и вычислительной математике.

В теории преобразование Вейля исходным объектом является фазовое пространство, которое в простейшем случае есть прямая сумма линейного пространства L и его сопряженного L?. Мы рассмотрим случай,

когда линейное пространство есть Rd и его сопряженное отождествлено ñ Rd. Таким образом, в рассматриваемом нами случае фазовое пространство есть пространство

463

Второе слагаемое в (A.1) рассматривается как пространство, сопряженное к первому слагаемому, поэтому в рассматриваемом нами случае переход от одного ортонормированного базиса к другому в фазовом пространстве пространстве осуществляется с помощью матрицы вида

Удовлетворяющая условиям (A.4)-(A.5) билинейная форма называется симплектической формой. Можно доказать, что при соответствующем

выборе базиса в линейном пространстве L любая симплектическая фор- ма на пространстве L L? в координатах имеет вид (A.3).

На функциях из пространства Шварца S(Rd Rd) определим симплектическое преобразование Фурье:

Z

F ( )( ) = (2 ) d exp( i ( ; q p)) (q p) dqdp:

Обратное симплектическое преобразование Фурье вычисляется по формуле

Z

F 1 : (q p) = (2 ) d exp(i ( ; q p))F ( )( ) d d :

464

Равенство Парсеваля для симплектического преобразования Фурье име-

åò âèä: Z Z

j (q p)j2 dqdp = jF ( )( )j2 d d :

Следует отметить, что в теории преобразования Вейля возможен иной выбор знаков у множителей i в экспонентах и степеней множителя 2

перед интегралами.

Вейлевское квантование состоит в том, что по аналогии с формулой обращения преобразования Фурье каждой функции на фазовом пространстве ставится в соответствие оператор в гильбертовом пространстве

L2(Rd):

Z

(Q ; P ) = (2 ) d exp(i( P Q))F ( )( ) d d ;

ãäå Q ; P -операторы координаты и импульса (математически строгое определение оператора ( P Q) äàíî íèæå).

Переходим к построению отображения (квантования) Вейля. В пространстве L2(Rd) определим операторы

Лемма A.1.1. Операторы V (p) и U(p) унитарно эквивалентны: если F -преобразование Фурье в L2(Rd), òî

FU(p) = V (p)F:

Доказательство проводится прямой выкладкой. Имеем:

2. Для любого элемента 2 L2(Rd) функции

Rd 3 q 7!V (p) 2 L2(Rd);

Rd 3 q 7!U(q)) 2 L2(Rd)

465

непрерывны в метрике пространства L2(Rd).

3. Операторы V (p) и U(q) унитарны и справедливы равенства:

Доказательство. Равенства (A.6)-(A.7) очевидны. Далее имеем:

U(q)V (p) (x) = U(q)(exp( ip x) (x)) = exp( ip (x q)) (x q) =

exp(iq p) exp( ip x) (x q) = exp(iq p)V (p)U(q) (x):

Соотношение (A.8) доказано.

Сотношения (A.6)-(A.8) называются каноническими перестановочными соотношениями в форме Вейля.

Для доказательства второго утверждения леммы силу равенства (A.6) и леммы A.1.1 достаточно доказать непрерывность функции p 7!V (p) 2

L2(Rd) в точке p = 0. Èìåì:

Z

k V (p) k2 = j1 exp( ip x)j2j (x)j2 dx ! 0 ; jpj ! 0:

Второе утверждение леммы доказано. Третье утверждение очевидно.

Следствие A.1.1. В пространстве L2(Rd) функции

t 7!V (tp) ; t 7!U(tq)

образуют полугруппу унитарных операторов класса C0.

Из теоремы Стоуна следует, что операторы

самосопряжены.

На функции из C01 эти операторы действуют по формулам:

(p Q) (x) = (p x) (x) ; (q P ) (x) = iq @x (x):

Следует помнить, что область оперделения суммы двух неораниченных операторов может отличаться от области определения слагаемых.

Определим оператор

466

есть полугруппа унитарных операторов класса C0.

Доказательство. Для доказательства превого равенства мы используем равенство (A.8)и получаем:

W (q ; p) = exp(2i q p iq p)V (p)U( q) = exp( i2i q p)V (p)U( q):

Второе равенство доказывается вычислением на основе равенства (A.12) и определений операторов V (p) è U(q).

Для доказательства третьего равенства мы используем равенство (A.12):

Остальные утверждения леммы очевидны. Пусть

L = i@tW (tq ; tp) t=0

-инфинитезимальный оператор полугруппы t 7!W (tq ; tp). Из теоремы Стоуна следует, что оператор L самосопряжен. На финитные функции оператор L действует по формуле

L (x) = i@tV (tp) t=0 + i@tU( tq) t=0 = (p x) (x) + iq @x (x);

467

поэтому

W (q ; p) = exp(i(q P p Q)):

Положим

Z( ; j ; ) = (2 ) d=2 < ; W ( ; ) > :

Лемма A.1.4. Справедливо равенство

Z

Z( 1 ; 1 j ; ) Z( 2 ; 2 j ; )d d =< 2 ; 1 >< 1 ; 2 > :

Доказательство. Имеем:

zi ; j( ; ) := (2 ) d=2 < ei ; W ( ; )ej > 1 i < 1 ; 1 j < 1

образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2(R2d ; d d ).

Доказательство. Докажем полноту системы zi ; j( ; ). Имеем:

Z

zi ; j( ; ) h( ; )d d =

468