FA Арсеньев Функ.Ан

Теорема доказана.

Из теоремы (6.4.1) следует, что при s 0 пространство Hs(Rd) можно отождествить с пополнением пространства S(Rd) по метрике (6.109),

ãäå fb( ) -преобразование Фурье-Планшереля функции f, и справедливо

включение

L2(Rd ; dx) Hs(Rd) ; s 0:

Ïðè s < 0 пространство Hs(Rd) есть пространство распределений, кото-

рые действуют по правилу (6.111).

На пространстве S(Rd) определим норму

Из равенства Парсеваля следует, что

449

Доказательство. Сначала докажем теорему для n = 0. Имеем:

k j He0 ; (Rd)k2 =

ZZZ

j (x)j2dx + jx yj (d+2 )j (x) (y)j2dxdy =

ZZZ

ZZ Z

Òàê êàê

9(C1 ; C2) : C1(1 + j j2) (1 + j j2 ) C2(1 + j j2) ;

то из полученного равенства вытекает утверждение теоремы для n = 0. Для доказательства теоремы в общем случае заменим в полученном

равенстве

(x) ! Dxm (x);

и учтем, что

F (Dxm (x))( ) = mF ( (x))( );

X

9(C1 ; C2) : C1(1 + j j2)k 1 + ( m)2 C2(1 + j j2)k:

jmjk

Теорема доказана.

Замечание 6.4.1. Из доказанной теоремы следует, что если

(x) 2 Hs(Rd) ; s 0 и функция x 7!y(x) есть такое гладкое невырож-

денное отображение пространства Rd 7!Rd, ÷òî y(x) x ; jxj R0 ; R0 < 1, то функция x 7! (y(x)) принадлежит пространству Hs(Rd).

На декартовом произведении пространств Hs(Rd) è H s(Rd) определим билинейную форму BH (f ; g):

450

3. Для любого линейного функционала l 2 Hs(Rd)? существует такой элемент gl 2 H s(Rd), ÷òî

Доказательство. Первое утверждение следует из неравенства КошиБуняковского:

Определение 6.4.4. Пространство C0n ; (Rd) -это пополнение пространства S(Rd) по норме (6.120).

451

Отметим, что если f 2 C0n ; (Rd), òî

8(m ; jmj n) : lim jDxmf(x)j = 0:

jxj!1

Действительно, если f 2 C0n ; (Rd), òî

8( > 0) ; 9f 2 S(Rd) : kf f j C0n ; (Rd)k < ;

поэтому

8(m ; jmj n ; > 0) : lim sup jDxmf(x)j :

jxj!1

Следующая теорема называется теоремой вложения Соболева (он ее автор).

Теорема 6.4.4. Если распределение

f 2 Hd=2+n+ (Rd) ; 0 < < 1;

то оно задается функцией

f(x) 2 C0n ; (Rd);

причем существует такая не зависящая от f константа C(d ; ), что

8(f 2 Hd=2+n+ (Rd)) : kf j C0n ; (Rd)k C(d ; )kf j Hd=2+n+ (Rd)k:

(6.121)

Доказательство. В силу формулы обращения преобразования Фурье имеем:

452

Поэтому

8(x 2 Rd ; y 2 Rd ; jmj n ; f 2 S(Rd)) :

jDxmf(x + y) Dxmf(x)jjyj C(d ; )kf j Hd=2+n+ (Rd)k:

Аналогично доказывается неравенство

Пусть распределение

f2 Hd=2+n+ (Rd);

èпоследовательность функций fn(x) 2 S(Rd) задает распределения fn, которые удовлетворяют условию:

kf fn j Hd=2+n+ (Rd)k ! 0 ; n ! 1:

Так как последовательность fn сходится в метрике пространства Hd=2+n+ (Rd), она фундаментальна в метрике этого пространства. Из неравенства

kfn fm j C0n ; (Rd)k C(d ; )kfn fm j Hd=2+n+ (Rd)k

следует, что последовательность функций fn(x) фундаментальна в мет-

рике пространства C0n ; (Rd) и поэтому в метрике этого пространства сходится к функции f0(x) 2 C0n ; (Rd). Ясно, что функция f0(x) задает

распределение f.

Теорема доказана.

Åñëè 0 jmj s, то обобщенной производной порядка m функции f 2 Hs(Rd) называется рассматриваемая как элемент пространства L2(Rd) функция

m = (m1 ; m2 ; : : : md) ; = ( 1 ; 2 ; : : :)

Dm = Dxm11 : : : Dxdmd;m = 1m1 : : : dmd:

453

Предел в (6.125) понимается в смысле метрики пространства L2(Rd ; d ). Из доказанной теоремы следует, что если f 2 Hs(Rd) ; s > d=2 + jmj + ; 0 < < 1, то обобщенная производная Dmf(x) совпадает с

классической.

Из доказанной теоремы и теоремы 6.4.3 следует, что любое медленно растущее распределение с компактным носителем принадлежит некоторому пространству Hs(Rd).

Действительно, если f 2 S?(Rd), òî

9(C ; N) ; 8( 2 S(Rd)) : jf( )j Ck j (N ; S)k:

Åñëè K Rd -компакт, то существует такая константа C(K), ÷òî

8( 2 S(Rd) ; supp b K) : jk j (N ; S)k

C(K)k j C0N ; (Rd)k C(d ; s)k j Hd=2+N+ (Rd)k:

Следовательно, любое медленно растущее распределение с компактным носителем задает линейный непрерывный функционал на некотором пространстве Hs(Rd) и поэтому может быть отождествлено с элементом про-

странства H s(Rd).

Напомним, что следом функции f(x) ; x 2 Rd на многообразии M Rd называется функция f(x), рассматриваемая как функция точки x 2 M. Распределение не есть функция точки, поэтому понятие следа рас- M Rd нуждается в отдельном определении. Так как свойство задаваемого функцией f(x) распределения при-

надлежать пространству Hs(Rd) ; s 0; инвариантно относительно гладких замен переменных x 7!y(x), то достаточно определить понятие сле-

да на гиперплоскости, что и будет сделано ниже.

Пусть f(x) 2 Hs(Rd) ; s 0. Тогда существует такая последовательность fn(x) 2 S(Rd), ÷òî

На функциях из S(Rd) корректно определена операция S взятия следа:

S : S(Rd) 7!S(Rd 1)) ; Sf(x1 ; : : : xd 1) = f(x1; : : : ; xd 1 ; 0): (6.127)

Теорема 6.4.5. Åñëè

f 2 Hs(Rd) ; s > 1=2 ; fn(x) 2 S(Rd) ; kf fn j Hs(Rd)k ! 0 ; n ! 1;

(6.128)

òî

454

1. Последовательность

Sfn(x1; : : : ; xd 1) = fn(x1 : : : ; xd 1; 0)

сходится в пространстве Hs 1=2(Rd 1) и ее предел H f:

H f := lim Sfn

n!1

зависит только от распределения f 2 Hs(Rd) и не зависит от выбора

аппроксимируещей последовательности fn â (6.128). 2. Справедливо неравенство

Описанную в теореме ситуацию можно пояснить на диаграмме:

f 2 Hs(Rd) ; H f 2 Hs 1=2(Rd 1):

Теорема утверждает, что если справедливо обозначенное верхней горизонтальной стрелкой предельное соотношение, то справедливо обозна- ченное нижней горизонтальной стрелкой предельное соотношение и корректно определено отображение

H : Hs(Rd) 7!Hs 1=2(Rd 1);

которое не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности fn.

Распределение H f 2 Hs 1=2(Rd 1) называется следом распределения f 2 Hs(Rd) на гиперплоскости xd = 0.

Доказательство. Пусть

Тогда

Sf(x1; : : : ; xd 1) = f(x1; : : : ; xd 1; 0) =

1

1 Z

2

Fdf(x1; : : : ; xd 1j d)d d:

1

455

Следовательно,

Мы доказали неравенство (6.129) для функций из f 2 S(Rd). Из этого

неравенства следует, что если последовательность fn 2 S(Rd) фундаментальна в метрике Hs(Rd), то последовательность H fn фундаментальна

âметрике Hs 1=2(Rd 1). Так как это справедливо для любой сходящейся

âметрике Hs(Rd) к распределению f последовательности fn 2 S(Rd), то предел последовательности H fn не зависит от выбора аппроксими-

рующей последовательности fn, а зависит только от распределения f. Теорема доказана.

p 1

H (D) := Cl(C00 (D)):

456

Пространство p

H (D) мы рассматриваем как подпространство пространства Hp(Rd) вместе с индуцированной из пространства Hp(Rd) метрикой, скалярным произведением и нормой:

Åñëè p > 1=2 и граница @D области D достаточно гладкая, то про-

компактно.

Утверждение теоремы означает, что множество

компактно в метрике пространства Hp(Rd).

Доказательство. Для простоты мы рассмотрим только случай p 0.

В этом случае распределения можно отождествить с функциями, которые задают эти распределения. Доказательству теоремы мы предпошлем несколько лемм.

Лемма 6.4.2. Справедлива оценка:

Z

8( 2 Bq ; q > p) : jb( )j2(1 + j j2)pd (1 + R2)p q:

j j>R

Доказательство. Имеем:

457

Доказательство. Пусть (x) -функция типа гриб и

(x) 1 ; x 2 D:

Тогда

Z

jb( )j2d = const:

jb( 1) b( 2)j2

Z

jb( 1 ) b( 2 )j2(1 + j j2) qd

Z

jb( )j2j exp( 1 2 ; ) 1j2d :

Лемма доказана.

Лемма 6.4.4. Åñëè f ng Bq, то для любого > 0 последовательность f ng содержит такую подпоследовательность f ng:

f ng f ng;

что выполнено условие

9N ; 8(n > N ; m > N) : k n m j Hp(Rd)k < :

Доказательство. Имеем:

Теперь мы поступаем так: сначала мы выбираем R достаточно большим,

а потом при фиксированном R мы выбираем из последовательности f ng такую подпоследовательность f ng, которая равномерно сходится в шаре

458