FA Арсеньев Функ.Ан

Обыкновенные дифференциальные операторы.

Пусть

Дифференциальному оператору (6.80) мы поставим в соответствие по-

лином

L( ) = n + a(n 1) n 1 + + a0:

Напомним

Определение 6.3.2. Функцией Коши K(t) для оператора (6.80) называется решение уравнения

LK(t) = 0;

K(n 1)(0) = 1 ; K(n 2)(0) = = K(0) = 0:

Простое вычисление показывает, что функция Коши может быть вы- числена по формуле

Это утверждение можно проверить непосредстеннным вычислением. Делается это так. По определению производной от распределения, равенство (6.83) означает, что

Для доказательства последнего равенства перебрасываем оператор L на K(t) и учитываем подстановку в нуле.

Можно заметить, что формула (6.83) фактически есть лишь другая запись формулы Дюамеля (3.275).

439

Волновое уравнение в размерности 1+1.

Найдем решение уравнения

Беря от (6.84) преобразование Фурье по переменной x (преобразование

Фурье функции f(x) мы будем обозначать символом fb( )), мы получаем

уравнение

d2Eb( ; t) + 2Eb( ; t) = (t): dt2

Из формулы (6.84) следует, что

При вычислении этого интеграла полезно заметить, что

1

Z

exp( i( ; x)) (a jxj)dx = 2sin(a );

1

поэтому

440

Беря от (6.86) преобразование Фурье по переменной x, мы получаем уравнение

d2Eb( ; t) + 2Eb( ; t) = (t) ; t 2 R1 ; 2 R3: dt2

Следовательно,

Eb( ; t) = (t)sin(j jt) ; t 2 R1 ; 2 R3:

j j

Применяя формулу обращения преобразования Фурье,получаем:

441

где функция {(x3 ; 0 ; R ; 1) задается формулой (6.18), мы получаем, что решение уравнения есть функция

1p

442

Сначала приведем фомальные выкладки, аналогичные тем, которые делаются в аналогичных случаях физиками. Имеем:

21 (ln jxj ln jyj):

Для обоснования этих выкладок используем теорию полугрупп. В пространстве L2(Rd ; d ) функция

есть полугруппа класса C0 (проверку этого утверждения мы оставляем читателю в качестве упражнения). Так как преобразование Фурье F есть взаимно однозначное унитарное (с точностью до множителя (2 ) d) ïðå- образование пространства L2(Rd ; dx) в пространство L2(Rd ; d ), функция

Инфинитезимальный оператор полугруппы T (t) в пространстве L2(Rd ; dx) есть оператор Лапласа:

x = F 1( 2)F:

Пусть g(x ; y) -интегральное ядро оператора ( x) 1. Из формулы (3.10.8)

443

и (6.96) следует, что

Ïðè d = 2 необходима регуляризация интеграла:

6.4Пространства Соболева.

6.4.1Преобразование Фурье-Планшереля.

Напомним определение преобразования Фурье функций из пространства Шварца:

Z

8( 2 S(Rd)) : F ( )( ) = exp( i(x ; )) (x)dx; (6.101)

формулу обратного преобразования Фурье:

Z

8( 2 S(Rd)) : (x) = (2 ) d exp(i(x ; ))F ( )( )d ; (6.102)

и равенство Парсеваля:

Z Z

8( 2 S(Rd)) : j (x)j2dx = (2 ) d jF ( )( )j2d : (6.103)

444

Интегрирование везде ведется по пространству Rd.

В дальнешем нам будет удобно использовать введенное ранее обозна- чение

Ясно, что формулой (6.101) можно определить преобразование Фурье только для тех функций , для которых интеграл в (6.101) сходится.

Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы распространить определение преобразования Фурье на все функции из L2(Rd ; dx).

Лемма 6.4.1. Пространство Шварца S(Rd) плотно в L2(Rd ; dx) по метрике пространства L2(Rd ; dx):

Cl(S(Rd)) = L2(Rd ; dx):

Доказательство. Пусть

L2(Rd ; dx) = Cl(S(Rd)) H0:

Докажем, что

H0 = 0:

Åñëè f0 2 H0, то функция f0 ортогональна любой функции из S(Rd). В частности, функция f0 ортогональна любой функции типа гриб , по-

этому функция f0 ортогональна характеристической функции любого параллеллипипеда K Rd:

Z

8K : f0(x)dx = 0:

K

Следовательно, функция f0 ортогональна любой ступенчатой функции и поэтому равна нулю почти всюду. Лемма доказана.

Следствие 6.4.1. Åñëè 2 L2(Rd ; dx), то существует такая последовательность n 2 S(Rd), ÷òî

Если последовательность f ng удовлетворяет условию (6.105), то она фундаметальна в L2(Rd ; dx). Из равенства Парсеваля следует, что после-

довательность преобразований Фурье fbng фудаментальна в L2(Rd ; d ). Следовательно,

9b( ) : kb cn j L2(Rd ; d )k ! 0 ; n ! 1:

445

Определение 6.4.1. Если функции 2 L2(Rd ; dx) è b 2 L2(Rd ; d )

связаны равенствами (6.105)-(6.106), то мы говорим, что функция b 2

L2(Rd ; d ) есть преобразование Фурье-Планшереля функции 2 L2(Rd ; dx):

где последовательность f ng удовлетворяет условию (6.105).

Ясно, что преобразование Фурье-Планшереля определено на всем пространстве L2(Rd ; dx), оно преобразует пространство L2(Rd ; dx) â ñåáÿ,

для него справедлива (соответственно обобщенная) формула обращения и формула Парсеваля. В дальнешем мы не будем делать различия между заданным формулой (6.101) преобразованием Фурье и определенным формулой (6.107) преобразованием Фурье-Планшереля.

6.4.2Определение и основные свойства пространств Соболева.

Напомним, что заданная в Rd функция f(x) называется локально инте-

грируемой:

f 2 Lloc(Rd);

если для любого компакта K Rd справедливо включение:

f 2 L1(K):

Определение 6.4.2. Распределение f 2 S(Rd)? принадлежит простран- ству Соболева Hs(Rd), åñëè

1. Преобразование Фурье распределения f задается локально интегрируемой функцией:

2. Задающая преобразование Фурье функция удовлетворяет условию:

в (6.108) функция fb( ) есть преобразование Фурье функции f(x), íî â

446

общем случае в определении не требуется, чтобы функция fb( ) обяза-

тельно была бы преобразованием Фурье некоторой функции.

Входящй в определние пространства Соболева Hs(Rd) параметр s может принимать любое значение:

1 < s < 1:

Определение 6.4.3. Заданная в пространстве Rd функция f(x) принадлежит пространству Соболева Hs(Rd), если порожденное функцией f(x) распределение

Z

f : 7! f(x) (x)dx

принадлежит пространству Соболева Hs(Rd).

ßñíî, ÷òî

8(s 0) : Hs(Rd) L2(Rd ; d );

а так как преобразование Фурье переводит пространство L2(Rd) в себя, пространство Hs(Rd) ïðè s 0 может быть отождествлено с подпространством пространства L2(Rd).

Приведем примеры.

1. Пусть f = -функция. Преобразование Фурье распределения f задается функцией fb( ) 1. Имеем:

Z

(1 + j j2)s 1d < 1 ; åñëè s < d=2:

Следовательно,

(x) 2 Hs(Rd) ïðè s < d=2:

2. Пусть f(x) = (1 jxj) ; x 2 R1. Преобразование Фурье функции f(x) есть функция

Следовательно,

(1 jxj) 2 Hs(R1) ïðè s < 1=2:

447

Теорема 6.4.1. 1. Пространство Соболева Hs(Rd) есть гильбертово пространство со скалярным произведением

этого утверждения заметим, что, как следует из (6.108), распределение f 2 Hs(Rd) действует на основную функцию по правилу:

откуда следует, что

Из этого неравенства следуют два утверждения: во-первых, что каждая функция fb( ) 2 L2(Rd ; (1 + j j2)sd ) задает по правилу (6.111) линей-

ный непрерывный функционал на пространстве S(Rd), во-вторых, что

из сходимости последовательности распределений в метрике пространства Hs(Rd) следует сходимость в топологии пространства S(Rd)?.

448